Enunciado

Determinar a localização do centro de cisalhamento O de uma viga de parede fina de espessura uniforme e com a seção transversal mostrada.

Passo 1

Para esse tipo de questão sabemos que a nossa tensão de cisalhamento produz na seção forças que são decorrentes do diagrama de tensões. Mas ai temos o seguinte macete, imagine que na verdade a nossa seção tenha o seguinte fluxo de tensões.

Se calcularmos o momento fletor em torno de “d” teremos que:

M d = 2 F S e n 60 ° a 2

Agora pensa o seguinte, se temos esse momento fletor agindo em torno de “d” vamos tentar equilibrar ele, e para equilibrar, precisamos descobrir qual a distância “e” que podemos colocar a nossa carga vertical para garantir que a nossa seção vá descer vertical, e não rotacionar, sendo assim, teremos que:

Calculando o momento fletor em “d” teremos que:

M d = V e

E igualando os momentos fletores, teremos que:

V e = 2 F S e n 60 ° a 2

e = F a S e n 60 ° V

Sabemos que a força que age na seção superior e gera a força F é dada pela seguinte equação:

F = ∫ τ d A

Sabemos que:

τ = V Q I b

Precisamos determinar o momento de inércia total da nossa seção, vamos seguir o seguinte passo a passo.

Passo 2

Vamos determinar primeiro o momento de inércia, para isso precisamos determinar algumas coisas, para isso temos que fazer o seguinte passo a passo.

para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

I = ∑ I i + A i d i 2

  • Primeiro determinamos uma divisão em seções mais simples
  • Em segundo determinamos as áreas da nossa seção
  • Em terceiro determinamos a distância dos centroides dos elementos até a LN, e como a seção é simétrica, está no centro da seção total, sendo assim teremos que:
  • Em quarto precisamos determinar os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples:
  • Agora para determinarmos o momento de inércia, precisamos fazer a seguinte conta:

    I = ∑ I i + A i d i 2

    Mas temos que lembrar que precisamos usar os valores de inercia da região 6 como negativa, sendo assim temos que:

    I = 2 ( I 1 + A 1 d 1 2 ) + ( I 2 )

    I = 2 t h 3 12 + L t   . h 2 2 + t a 3 12

    I = 2 t h   .     h 2 12 + L t h 2 4 + t a 3 12

    Com isso podemos considerar que aproximadamente podemos fazer a seguinte aproximação:

    t h = L t

    Substituindo:

    I = 2 L t   h 2 12 + h 2 4   + t a 3 12

    I = 2 L t   h 2 12 + 3 h 2 12   + t a 3 12

    I = 2 L t h 2 3   + t a 3 12

    Sabemos que:

    a 2 L = C o s 60 °

    a 2 C o s 60 ° = L

    L = a

    h = a 2

    I = 2 a t a 2 2 3   + t a 3 12

    I = 2 t a 3 12   + t a 3 12

    I = t a 3 4  

    Passo 3

    Para o momento estático, precisamos escrever a nossa equação em função disso, porque sabemos que a nossa força está em função da tensão, sendo assim podemos fazer o seguinte:

  • Área da região acima do ponto que se quer saber o cisalhamento
  • A = t s

    Lembrando que x é a variação do comprimento da área analisada.

  • Distância do centroide da área até a LN
  • d S 2 = S e n 30 °

    d = S 2 S e n 30 ° = S 4

    agora para determinar o momento estático precisamos fazer a seguinte conta:

    Q = A 1 d = t s   .   s 4   = t s 2 4

    E sabemos que a espessura de cisalhamento é dado por “t”. substituindo isso na nossa equação teremos que:

  • Tensão

τ = V Q I b = V   .   t s 2 4     I     .   t

Sabemos que devemos substituir isso na seguinte integral:

F = ∫ τ d A

Sabemos que:

A = t s

Logo:

d A = t d s

Sendo assim teremos que:

F = ∫ V t s 2     4 I t ( t d s )

F = ∫ V t s 2     4 I ( d s )

F = V t 4 I ∫ s 2 ( d s )

F = V t s 3 12 I

F = V t s 3 12 t a 3 4

F = 4 V s 3 12 a 3

F = V s 3 3 a 3

Sabemos que:

L = a = S

Substituindo teremos que:

F = V a 3 3 a 3 = V 3

Mas lembra o nosso objetivo? Queremos determinar a excentricidade que podemos aplicar a nossa carga, sendo assim, teremos que:

e = F a S e n 60 ° V = V 3 a S e n 60 ° V = a S e n 60 ° 3

e = a 3 6

Resposta

e = a 3 6

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