Enunciado

Determine a aceleração angular da haste EC na posição mostrada, onde ω = β ˙ = 2 r a d s   e   β ¨ = 6   r a d / s 2 quando θ = β = 60 ° . O pino A é fixo na haste EC. A ranhura circular no elemento DO tem um raio de curvatura de 150 mm. Na posição mostrada, a tangente à ranhura no ponto de contato é paralela a AO.

Passo 1

Bom pessoal, novamente temos um componente ranhurado, então pegamos um ponto P coincidente a A, mas que pertence a DO. Muito importante também destacar que a tangente à ranhura em A é paralela a AO. Vamos fazer um esboço do mecanismo com os dados para visualizar melhor.

Vamos observar os vetores velocidade. O ponto A pertence à haste CE, então sua velocidade é perpendicular à mesma. Da mesma forma, o ponto P pertence ao componente DO, então sua velocidade é perpendicular à DO. Já a velocidade relativa deve ter a direção da ranhura, que o enunciado diz que é paralelo a DO. Vejamos o diagrama dos vetores velocidade:

Podemos calcular a velocidade do ponto P a partir do componente DO:

v P = ω × r D O = 2 × 0,15 = 0,3   m / s

E pela relação dos vetores, podemos calcular as outras velocidades:

v A = v P c o s 60 = 0,6   m / s

v r e l = v A s e n 60 = 0 , 52   m / s

Passo 2

Agora, vamos para o cálculo das acelerações.

Vamos usar a equação da aceleração relativa entre os pontos A e O:

a A = a O + β ¨ × r A O + ω × ω × r A O + 2 ω × v r e l + a r e l

Beleza! Agora vamos usar os conceitos dos vetores acelerações que aparecem na equação acima para fazer um esboço e calcular os valores. A aceleração de A em relação à haste CE possui uma componente normal e uma tangencial. Da mesma forma, a aceleração relativa também possui estas componentes, porém em relação à ranhura. Com isso, podemos fazer o diagrama das acelerações:

OBS: não tem problema caso o sentido dos vetores da figura estiverem errado, isso iremos descobrir através dos cálculos. Vamos lá.

A aceleração de A pode ser calculada também a partir da haste CE. Atenção aos eixos x-y:

a A = a A n + a A t = - v A 2 r A C c o s 60   i ^ + s e n 60   j ^ + 0,15 α ( c o s 30   i ^ - s e n 30 j ^ )

a A = - 0,6 2 0,15 c o s 60   i ^ + s e n 60   j ^ + 0,15 α ( c o s 30   i ^ - s e n 30   j ^ )

a A = - 1,2 i ^ - 2,08 j ^ + 0,15 α c o s 30   i ^ - s e n 30   j ^ m / s 2

A aceleração relativa normal pode ser calculada por:

a r e l n = - v r e l 2 ρ j ^ = 0,52 2 0,15 = - 1,8 j ^   m / s 2

Agora sim, vamos substituir os valores na equação da aceleração relativa entre A e O:

- 1,2 i ^ - 2,08 j ^ + 0,15 α c o s 30   i ^ - s e n 30   j ^ = 0 + 6 k ^ × 0,15 i ^ - 0,15 i ^ 2 2 + 2 2 k ^ × - 0 , 52 i ^ + a r e l t - 1,8 j ^  

1,2 i ^ - 2,08 j ^ + 0,15 α c o s 30   i ^ - s e n 30   j ^ = 0,9 j ^ - 0,6 i ^ - 2,08 j ^ + a r e l t - 1,8 j ^  

Decompondo nas direções:

1,2 i ^ + 0,15 α c o s 30   i ^ = - 0,6 i ^ + a r e l t i ^

- 2,08 j ^ - 0,15 α s e n 30   j ^ = 0,9 j ^ - 2,08 j ^ - 1,8 j ^

Resolvendo o sistema, temos que:

α = 12   k ^   r a d / s 2

a r e l t = 0,975   i   m / s

Resposta

α = 12   k ^   r a d / s 2

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