Enunciado

Determine a área total da superfície do corpo gerada girando a área sombreada em 36 ∘ em torno do eixo x.

Passo 1

Usando o teorema de Pappus, podemos escrever a expressão para a área do corpo como

A = θ ∑ x - L A = θ x - 1 L 1 + x - 2 L 2                                                               ( 1 )

Onde x ‾ é o centróide da linha de um quarto do círculo, L é o comprimento da linha e o ângulo de rotação θ

Podemos ver no esboço as seguintes dimensões:

x ‾ = r - 2 r π = r 1 - 2 π

A expressão acima também pode ser escrita como:

x ‾ = r π ( π - 2 )

Enquanto o comprimento da linha é igual a um quarto do comprimento do círculo completo.

L 1 = 1 4 ⋅ 2 r π = r π 2

E o ângulo de rotação

θ = 2 π

Passo 2

Coloque os valores na expressão (1)

A = 2 π r π ( π - 2 ) ⋅ r π 2 + r 2 ⋅ r A = 2 π r 2 2 ( π - 2 ) + r 2 2 A = 2 π r 2 2 ( π - 2 + 1 )

Área total da superfície

A = r 2 π ( π - 1 )

Resposta

A = r 2 π ( π - 1 )

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