Enunciado

Determine a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou por escoamento da coluna W200 x 22 de aço A-36 engastada na base e livre no topo.

Passo 1

Falaaa!

Ele quer saber a carga máxima P para que não haja flambagem e nem escoamento nessa coluna.

Como há excentricidade (a carga não está no centro da seção), a gente precisa testar a flambagem nas duas direções. Imagina que y é a direção onde temos a distância entre o centro da seção e P .

Vamos reunir nossos dados. A excentricidade é e = 25   m m = 0,025   m distante do eixo x - x . Para o aço-36 nós temos:

E = 200   G P a

σ e = 250   M P a

E esse elemento W 200 × 22 que ele deu tem o momento de inércia e outras propriedades da seção em uma tabelinha nas últimas páginas do livro, no apêndice B. De lá, a gente tira que

I x = 20 × 10 6   m m 4 = 20 ⋅ 10 - 6   m 4     I y = 1,42 × 10 6   m m 4 = 1,42 ⋅ 10 - 6   m 4   A = 2860 m m 2 = 2860 ⋅ 10 - 6   m 2     d = 206 m m                  

É importante pegar a área da seção e altura da viga d lá também, tá? Vamos usar mais a frente.

Temos que o comprimento da viga é L = 2,4   m . E como ela está engastada numa extremidade e livre na outra, K = 2 .

Temos uma carga excêntrica em relação ao eixo x - x . Mas ela é simples em relação a y - y (já que ela está sobre o eixo y ). Em cada situação usamos uma fórmula diferente, por isso, precisamos separar esse exercício em dois casos.

Passo 2

Primeiramente, vamos tratar da flambagem no eixo   y - y . A fórmula da carga crítica sem excentricidade para esse eixo é:

P c r = π 2 E I y k L 2

Substituindo os dados que a gente tem:

P c r = π 2 ( 200 10 9 1,42 ⋅ 10 - 6 2,4 2 2

P = P c r = 121,66 k N

Passo 3

Conferindo se não há escoamento, precisamos calcular a tensão normal que essa força causa na nossa seção:

σ c r = P c r A = 121,66 10 3 N 2860 m m 2

Dica: quando a gente divide N (newtons) por m m 2 , o resultado sai em M P a . Aí vamos ter:

σ c r = 42,54 M P a

Como ela é menor que σ 2 = 250 M P a , essa carga não causa escoamento. E nossa força encontrada é válida.

Passo 4

No eixo x - x , temos a excentricidade e . Por isso devemos calcular alguns parâmetros para usar na fórmulinha:

r x = I x A = 83,624 m m = 83,624   10 - 3 m

c = d 2 = 206 m m 2 = 10 3 10 - 3 m

Esse c é a maior distância do eixo x até a borda da seção, ou seja, a metade da altura da seção. E lembrando que

e = 2 5   m m = 25 10 - 3 m

A fórmulinha que a gente tem para esse caso com e ≠ 0 , é a fórmula da tensão

σ = P A 1 + e c r x 2 sec ⁡ k L 2 r x P E A

Como a gente quer o P que não causa escoamento, vamos usar a tensão de escoamento nessa fórmulinha para achar P .

σ e = P A 1 + e c r x 2 sec ⁡ k L 2 r x P E A

Passo 5

Substituindo nossos dados:

250 10 6 = P 2860 10 - 6 1 + 25 10 - 3 103 10 - 3 83,624   10 - 3 sec ⁡ 2 2,4 2 83,624   10 - 3 P ( 200 10 9 2860 10 - 6

Percebe que essa equação é super feia hehe. Não vai ser muito prático a gente resolver isso na não. Então vamos usar software, tipo um CAS ou alguma calculadora que resolve equações, tudo bem?

P = 464,71 k N

Conferindo se não há escoamento, precisamos calcular a tensão normal que essa força causa na nossa seção:

σ c r = P c r A = 464,71 10 3 N 2860 m m 2

Dica: quando a gente divide N (newtons) por m m 2 , o resultado sai em M P a . Aí vamos ter:

σ c r = 162,4876 M P a M P a

Como ela é menor que σ 2 = 250 M P a , essa carga não causa escoamento. E nossa força encontrada é válida.

Passo 6

Achamos dois valores para P . Mas a gente precisa escolher o menor entre eles, porque a gente não quer que ocorra flambagem.

Se a gente escolhe o maior, quer dizer que já houve flambagem na outra direção.

Então nossa resposta final é

P = 121,66 k N

Resposta

P = 121,66 k N

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