Enunciado

Determine o centróide do sólido gerado pela revolução da parte da curva senoidal mostrada na figura em torno do eixo y . (Dica: use uma casa cilíndrica delgada de raio r e espessura d r como elemento do sólido).

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que como o sólido vai rotacionar sobre o eixo y com aquela área, temos que x - = 0 e z - = 0 . Então, do enunciado, temos que a equação da curva é:

y = b s e n π x 2 a

Agora, conforme a dica do enunciado, o elemento diferencial de volume é dado por:

d V = 2 π r ( y ) d r

Agora, chamando x de r e substituindo a equação para y temos: temos:

d V = 2 π r b s e n π x 2 x d r → d V = 2 π b r s e n π r 2 a d r

Passo 2

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ 2 π b r s e n π r 2 a d r

Para resolver a integral, precisamos utilizar o método de integração por partes, com:

u = r d → d u = d r

d v = s e n π r 2 a d r → v = - 2 a π cos ⁡ π r 2 a

Então, substituindo esses valores, temos:

V = 2 π b r - 2 a π cos ⁡ π r 2 a a 2 a - ∫ a 2 a 2 a π cos ⁡ π r 2 a d r

Resolvendo a segunda integral, temos:

V = 2 π b r - 2 a π cos ⁡ π r 2 a a 2 a + 4 a 2 π 2 s e n π r 2 a a 2 a

Substituindo os limites de integração:

V = 2 π b - 2 a π ( 2 a ) ( - 1 ) + - 4 a 2 π 2

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 5,44 a 2 b

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em y com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada y - E L = 1 / 2 y :

y - V = ∫ y - E L d V

Então, substituindo o valor de y - E L e d V :

y - V = ∫ a 2 a y 2 π b r s e n π r 2 a d r

Substituindo o valor de y encontrado no passo 1:

y - V = ∫ a 2 a b s e n π x 2 a 2 π b r s e n π r 2 a d r

E, reescrevendo a expressão, temos:

y - V = π b 2 ∫ a 2 a r s e n 2 π r 2 a d r

Para resolver essa integral, vamos precisar usar integração por partes, fazendo:

u = r → d u = d r

d v = s e n 2 π r 2 a d r → v = r 2 - s e n π r a 2 π / a

Reescrevendo a integral, temos:

y - V = r r 2 - s e n π r a 2 π / a a 2 a - ∫ a 2 a r 2 - s e n π r a 2 π / a d r

Resolvendo a segunda integral, temos:

y - V = r r 2 - s e n π r a 2 π a a 2 a - 1 4 r 2 + a 2 2 π 2 cos ⁡ π r a a 2 a

Substituindo os limites de integração, temos:

y - V = 2 a 2 a 2 - a a 2 - 1 4 2 a 2 + a 2 2 π 2 - 1 4 a 2 + a 2 2 π 2

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 2:

y - 5,44 a 2 b = 2,04 a 2 b 2

E, isolando y - da equação, temos:

y - = 0,374 b

Resposta

y - = 0,374 b

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Determine por integração direta o centroide da área mostrada na figura.
Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir. Determine a resposta em termos de a e b .
A caixa d’água AB tem tampa hemisférica e é construída com placas de aço finas. Determine o volume dentro da caixa.
Determine  a  área  da  superfície  externa  do  tanque.
Um  anel  é  gerado  ao  girar-se  a  área  de  um  quarto de círculo em torno do eixo x. Determine seu  volume.