Enunciado

Determine a coordenada z do centro de massa da casca esférica homogênea de raio r correspondente a um quarto de uma esfera.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  z - =   ∫ z c d A A  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação ao ângulo e temos a nossa área. Note que, se olharmos na parte de baixo observamos que o comprimento dela é metade do comprimento de uma circunferência. Portanto:

L = 2 π y 2 = π y

Como eu estamos variando-a em relação a r e ao ângulo teremos:

d A = π y   r d θ

Observe que:

cos ⁡ θ = y r

y = r c o s   θ

Logo,

A = ∫ d A = ∫ π y   r d θ

Atente para o limite de integração, como é um quarto da esfera, o ângulo varia de 0 a π / 2 .

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

d A = π r 2 cos ⁡ θ   d θ

A = π r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos a área, sendo assim:

A = π r 2 s i n θ π / 2 0   = π r 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:

∫ z c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Portanto:

∫ z c d A = ∫ z d A

Como,

sin ⁡ θ = z r

z = r s i n θ

Temos,

∫ z d A = ∫ 0 π 2 r s i n θ   π r 2 c o s θ   d θ    

∫ z d A = π r 3 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ 2 d θ = π r 3 2

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

z - = ∫ z c d A A = π r 3 2 π r 2 = r 2  

Resposta

  z - = r 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5.35. Determine the x-coordinate of the mass center of the portion of the spherical shell of uniform but small thickness.
5.33. Calculate the distance measured from the base to the centroid of the volume of the frustum of the right-circular cone.
5.34. Determine the x-coordinate of the centroid of the solid spherical segment. Evaluate your expression for h = R 4 and h = 0 .
5.26. Determine the y-coordinate of the centroid of the shaded area shown.
5.30. Determine the z-coordinate of the centroid of the volume generated by revolving the shaded area around the z-axis through 360°.