Enunciado

Determine as coordenadas do centro de massa do corpo homogêneo mostrado. O furo está centrado na superfície horizontal superior.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas X - , Y - e Z - do centro de massa do objeto mostrado. Lembrando que o furo cilíndrico está centralizado com a superfície horizontal superior.

Então bora resolver! Para determinar o centro de massa do corpo formado pelo conjunto de outros objetos, vamos utilizar as medidas dadas e as seguintes equações:

X - = ∑ ( m x - ) ∑ m = ∑ ( ρ V x - ) ∑ ρ V = ∑ ( V x - ) ∑ V

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = ∑ ( ρ V y - ) ∑ ρ V = ∑ ( V y - ) ∑ V

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m = ∑ ( ρ V z - ) ∑ ρ V = ∑ ( V z - ) ∑ V

Ou seja, precisamos definir os volumes dos três objetos que compõem a figura: o retângulo de dimensões ( 60 , 40,30 ) que vamos chamar de ( V 1 ) , o furo em formato de cilindro V 2 que fica no interior do retângulo e a pirâmide triangular ( V 3 ) que fica em cima do retângulo.

V 1 = 60 * 40 * 30 = 72000   m m ³

V 2 = - π 10 2 * 30 = - 9424,8   m m ³

V 3 = 1 2 40 - 30 * 25 * 40 = 5000   m m 3

Passo 2

Tranquilo né? Antes de prosseguir, vamos analisar o desenho. Observe que o plano y = 20   m m é um plano de simetria da figura, logo a posição do centro de massa em relação ao eixo y é obtida diretamente:

Y - = 20   m m

Além dos volumes, precisamos das posições dos centroides em relação aos eixos x e z para os três objetos. Começando pelo retângulo V 1 :

x - 1 = - 60 2 = - 30   m m

z - 1 = 30 2 = 15   m m

O furo cilíndrico V 2 :

x - 2 = - 35 2 = - 17,5   m m

z - 2 = 30 2 = 15   m m

E a pirâmide triangular V 3 :

x - 3 = - 35 + 2 * 25 3 = - 51,67   m m

z - 3 = 30 + 10 3 = 33,33   m m

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos objetos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

X - = ∑ ( V x - ) ∑ V = V 1 x - 1 + V 2 x - 2 + V 3 x - 3 V 1 + V 2 + V 3

X - = 72000 * - 30 + - 9424,8 * - 17,5 + 5000 * ( - 51,67 ) 72000 + - 9424,8 + 5000

X - = - 33,3   m m

Z - = ∑ ( V z - ) ∑ V = V 1 z - 1 + V 2 z - 2 + V 3 z - 3 V 1 + V 2 + V 3

Z - = 72000 * 15 + - 9424,8 * 15 + 5000 * 33,33 72000 + - 9424,8 + 5000

Z - = 16,36   m m

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

X - = - 33,3   m m

Y - = 20   m m

Z - = 16,36   m m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Localize o centroide x - da área.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide x - da área.
Determine a localização x - do centroide C da parte superior da cardioide, r = a ( 1 - cos ⁡ θ ) .
Localize o centroide y - da área.