Enunciado

Determine as coordenadas x , y e z do centro de massa da forma de chapa de metal mostrada.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas X - , Y - e Z - do centro de massa da chapa de metal mostrada.

Então bora resolver! Para determinar o centro de massa do corpo formado pelo conjunto de outros objetos, vamos utilizar as medidas dadas e as seguintes equações:

X - = ∑ ( m x - ) ∑ m = ∑ ( ρ A x - ) ∑ ρ A = ∑ ( A x - ) ∑ A

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = ∑ ( ρ A y - ) ∑ ρ A = ∑ ( A y - ) ∑ A

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m = ∑ ( ρ A z - ) ∑ ρ A = ∑ ( A z - ) ∑ A

Ou seja, precisamos definir as áreas das chapas que compõem a figura: a primeira é a chapa formada pelo quarto de círculo superior A 1 e a segunda pelo quarto de casca de cilindro inferior A 2 . Logo:

A 1 = 1 4 π r 2 = 1 4 π a 2

A 2 = 1 4 2 π r h = 1 2 π a 2

Passo 2

Tranquilo né? Além das áreas, precisamos das posições dos centroides dos dois objetos em relação aos eixos x , y e z , que podemos obter com ajuda da Tabela D/4 de propriedades de figuras sólidas homogêneas. Sendo assim, para a chapa A 1 :

x - 1 = 4 r 3 π = 4 a 3 π

y - 1 = 0

z - 1 = 4 r 3 π = 4 a 3 π

Já para a chapa A 2 :

x - 2 = a 2

y - 2 = 2 a π

z - 2 = - a + 2 a π

Já que o centro do cilindro está na posição z = - a .

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos objetos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

X - = ∑ ( V x - ) ∑ V = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 A 1 + A 2

X - = 1 4 π a 2 * 4 a 3 π + 1 2 π a 2 * a 2 1 4 π a 2 + 1 2 π a 2

X - = 0,475 a

Y - = ∑ ( V y - ) ∑ V = A 1 y - 1 + A 2 y - 2 A 1 + A 2

Y - = 1 4 π a 2 * 0 + 1 2 π a 2 * 2 a π 1 4 π a 2 + 1 2 π a 2

Y - = 0,424 a

Z - = ∑ ( V z - ) ∑ V = A 1 z - 1 + A 2 z - 2 A 1 + A 2

Z - = 1 4 π a 2 * 4 a 3 π + 1 2 π a 2 * - a + 2 a π 1 4 π a 2 + 1 2 π a 2

Z - = - 0,1008 a

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

X - = 0,475 a

Y - = 0,424 a

Z - = - 0,1008 a

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