Enunciado

Determine a deflexão máxima entre os apoios A e B. EI é constante. Use o método da integração.

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu mais um problema de resmat. A gente precisa determinar a deflexão em AB máxima. Precisamos então das equações da linha elástica.

Repara que ele pediu para usarmos o método da integração. Então vamos achar uma equação para CA e outra para AB.

Primeira coisa a fazer é achar as reações de apoio. Supondo que a reação em A está para cima e a em B está para baixo, podemos usar as equações de equilíbrio:

Agora, devemos ulizar as equações de equilíbrio:

∑ M B = 0 w L 3 L 2 - A y L = 0 A y = 3 w L 2

∑ F y = 0 A y - B y - w L = 0 B y = 3 w L 2 - w L B y = w L 2

Passo 2

Sabemos que a equação da linha elástica e sua inclinação podem ser obtidas determinando o momento interno no elemento em função de x . Neste caso, temos várias cargas agindo e, por isso, devemos integrar M x . Ao integrar uma vez, otemos a equação para a inclinação da linha elástica, e integrando novamente, obtemos a equação para a deflexão.

Para 0 ≤ x 1 ≤ L , temos:

∑ M = 0 M x 1 - w x 1 x 1 2 = 0 M x 1 = w 2 x 1 2

E I d 2 v d x 2 = M x 1 = w 2 x 1 2

E I d v d x 1 = w 6 x 1 3 + C 1 E I v = w 24 x 1 4 + C 1 x 1 + C 2

Passo 3

Para 0 ≤ x 2 ≤ L :

∑ M = 0 - M x 2 - w L 2 x 2 = 0 M x 2 = - w L 2 x 2

E I d 2 v d x 2 2 = M x 1 = w 2 x 1 2

E I d v d x 2 = - w L 4 x 2 2 + C 3 E I v = - w L 12 x 2 3 + C 3 x 2 + C 4

Passo 4

Com isso, temos as condições de contorno. São elas:

x 1 = L → v 1 = 0

x 2 = 0 → v 2 = 0  

Isso porque nos apoios, temos deflexão nula.

Já as condições de continuidade são:

x 1 = x 2 = L → d v 1 d x 1 = - d v 2 d x 2 ,   v 1 = v 2

Porque em pontos iguais da barra, precisamos ter valores iguais para ambas as equações.

Substituindo as condições de contorno na equação, temos:

E I v = w 24 x 1 4 + C 1 x 1 + C 2 → 0 = w 24 L 4 + C 1 L 4 + C 2

E I v = - w L 12 x 2 3 + C 3 x 2 + C 4 → 0 = 0 + 0 + C 4 → C 4 = 0

w 24 x 1 4 + C 1 x 1 + C 2 = - w L 12 x 2 3 + C 3 x 2 → w 24 L 4 + C 1 L + C 2 = - w L 12 L 3 + C 3 L

w 6 x 1 3 + C 1 = - w L 4 x 2 2 + C 3 → w 6 L 3 + C 1 = - w L 4 L 2 + C 3

Resolvendo esse sistema:

C 1 = w L 3 3

C 2 = - 7 w L 4 24

C 3 = w L 3 12

C 4 = 0

Passo 5

Por fim, para que a deflexão entre os apoios A e B seja máxima, d v 2 d x 2 = 0 , já que v 2 é a função para deflexão em AB. Sendo assim:

- w L 4 x 2 2 + w L 3 12 = 0

E solucionando a equação temos que x 2 = L 3 . Por isso, substituindo em v 2 , temos:

v 2 m á x = - w L 12 L 3 + w L 3 12 L 3

v 2 m á x = w L 4 18 3 E I

Resposta

v 2 m á x = w L 4 18 3 E I

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