Enunciado

Determine o deslocamento, a velocidade e a aceleração da massa de um sistema massa-mola com k   =   500   N / m , m   =   2   k g , x 0   =   0,1   m e x ˙ 0   =   5   m / s .

Passo 1

Queremos o deslocamento, a velocidade e a aceleração da massa de um sistema massa mola com os valores iniciais do enunciado.

O deslocamento é dado por:

x t = x 0 cos ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Derivando a equação do deslocamento, obteremos a equação da velocidade:

x ˙ t = - x 0 ω n sen ⁡ ω n t + x ˙ 0 cos ⁡ ω n t

Derivando a equação da velocidade, temos a equação da aceleração:

x ¨ t = - x 0 ω n 2 cos ⁡ ω n t - x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

A frequência natural é dada por:

ω n = k m

Agora é só substituir os dados e descobrir os valores solicitados.

Passo 2

A frequência natural será:

ω n = 500   N / m 2   k g

ω n = 15,8114   r a d / s

Para o deslocamento, temos que:

x t = x 0 cos ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Substituindo os dados, temos que:

x t = 0,1 cos ⁡ 15,8114 t + 5 15,8114 sen ⁡ ( 15,8114 t )

x t = 0,1 cos ⁡ 15,8114 t + 0,3162 sen ⁡ ( 15,8114 t )

Passo 3

Para a velocidade, temos que:

x ˙ t = - x 0 ω n sen ⁡ ω n t + x ˙ 0 cos ⁡ ω n t

Substituindo os dados, temos que:

x ˙ t = - 0,1 15,8114 sen ⁡ 15,8114 t + 5 cos ⁡ 15,8114 t

x ˙ t = - 1,5811 sen ⁡ 15,8114 t + 5 cos ⁡ 15,8114 t

Para a aceleração, temos que:

x ¨ t = - x 0 ω n 2 cos ⁡ ω n t - x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Substituindo os dados, temos que:

x ¨ t = - 0,1 15,8114 2 cos ⁡ 15,8114 t - 5 15,8114 sen ⁡ 15,8114 t

x ¨ t = - 24,994 cos ⁡ 15,8114 t - 79,057 sen ⁡ 15,8114 t

Resposta

x t = 0,1 cos ⁡ 15,8114 t + 0,3162 sen ⁡ ( 15,8114 t )   m

x ˙ t = - 1,5811 sen ⁡ 15,8114 t + 5 cos ⁡ 15,8114 t   m / s

x ¨ t = - 24,994 cos ⁡ 15,8114 t - 79,057 sen ⁡ 15,8114 t   m / s 2

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