Enunciado

Determine o deslocamento ( x ) , a velocidade ( x ˙ ) e a aceleração ( x ¨ ) de um sistema massa-mola com ω n   =   10   r a d / s para as condições iniciais x 0 = 0,05   m e x ˙ 0 = 1   m / s . Desenhe gráficos de x t , x ˙ t e x ¨ t em relação a t = 0 a 5   s .

Passo 1

Queremos o deslocamento, a velocidade e a aceleração da massa de um sistema massa mola com os valores iniciais do enunciado.

O deslocamento é dado por:

x t = x 0 cos ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Derivando a equação do deslocamento, obteremos a equação da velocidade:

x ˙ t = - x 0 ω n sen ⁡ ω n t + x ˙ 0 cos ⁡ ω n t

Derivando a equação da velocidade, temos a equação da aceleração:

x ¨ t = - x 0 ω n 2 cos ⁡ ω n t - x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Agora é só substituir os dados e descobrir os valores solicitados.

Passo 2

Para o deslocamento, temos que:

x t = x 0 cos ⁡ ω n t + x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Substituindo os dados, temos que:

x t = 0 , 05 cos ⁡ 10 t + 1 10 sen ⁡ ( 10 t )

x t = 0,05 cos ⁡ 10 t + 0,1 sen ⁡ ( 10 t )

Para a velocidade, temos que:

x ˙ t = - x 0 ω n sen ⁡ ω n t + x ˙ 0 cos ⁡ ω n t

Substituindo os dados, temos que:

x ˙ t = - 0 , 05 10 sen ⁡ 10 t + 1 cos ⁡ 10 t

x ˙ t = - 0,5 sen ⁡ 10 t + cos ⁡ 10 t

Para a aceleração, temos que:

x ¨ t = - x 0 ω n 2 cos ⁡ ω n t - x ˙ 0 ω n sen ⁡ ω n t

Substituindo os dados, temos que:

x ¨ t = - 0 , 05 10 2 cos ⁡ 10 t - 1 10 sen ⁡ 10 t

x ¨ t = - 5 cos ⁡ 10 t - 10 sen ⁡ 10 t

Passo 3

Podemos obter os gráficos aplicando as equações em uma calculadora gráfica no intervalo: 0 ≤ t ≤ 5   s .

Temos que:

Resposta

x t = 0,05 cos ⁡ 10 t + 0,1 sen ⁡ ( 10 t )

x ˙ t = - 0,5 sen ⁡ 10 t + cos ⁡ 10 t

x ¨ t = - 5 cos ⁡ 10 t - 10 sen ⁡ 10 t

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