Enunciado

Determine a distância d entre A e B tal que o momento de binário resultante tenha uma intensidade de M R = 20   N ⋅ m .

Passo 1

Fala, querido!

A questão pede a distância d para que a intensidade do binário resultante seja M R = 20   N ⋅ m . Para acharmos isso, precisamos escrever o binário resultante em termos de d .

A fórmula para um binário de duas forças antiparalelas separadas por um vetor r → é

M → = r → × F →

Assim, temos que calcular cada um dos binários e somá-los vetorialmente.

Bora montar a expressão do binário resultante e igualar ao valor que ele deu.

Passo 2

r → pode ser escolhido de algumas formas.

Tudo bem a forma que escolher, desde que ele esteja entre a linha de ação das duas forças. E esteja apontando para a linha da força que vai usar nas continhas. Vamos escolher assim: r → vai ser o vetor que sai do ponto de aplicação de uma força até ponto de aplicação da outra.

Para gente F 1 → = { 35 k ^ } N . O vetor que sai do ponto A de aplicação da outra força do binário e vai até o ponto de aplicação B dessa força no sentido positivo vai ser a diferença entre as coordenadas desses pontos. O ponto A e B é:

B = 50 , - d cos ⁡ 30 ° , d   s e n   30 °

A = 50,0 , 0

Nosso vetor fica:

r → 1 = B - A = 50 , - d cos ⁡ 30 ° , d   s e n   30 ° - 50,0 , 0 = 0 , - d cos ⁡ 30 ° ,   d   s e n   30 °

r 1 → = - d cos ⁡ 30 °   j ^ + d   s e n   30 °   k ^

Já para o outro binário, vamos escolher F 2 → = - 50   i ^   N . O ponto de aplicação dessa força é C e da outra força do binário é A . Então nosso r → 2 pode ser:

r 2 → = C - A = ( 300 , - d cos ⁡ 30 ° , d   s e n   30 ° - 50,0 , 0 = 250 , - d cos ⁡ 30 ° ,   d   s e n   30 °

r 2 → =   250 i ^ - d cos ⁡ 30 °   j ^ + d s e n   30 °   k ^

Passo 3

Calculando os produtos vetoriais:

M 1 → = - d cos ⁡ 30 °   j ^ + d   s e n   30 °   k ^ × F 1   k ^ = - F 1   d cos ⁡ 30 ° i ^

M 2 → = 250 i ^ - d cos ⁡ 30 °   j ^ + d s e n   30 °   k ^ × - F 2   i ^ = F 2   d   - cos ⁡ 30 ° k ^ - s e n   30 °   j ^

Obs: Aqui cê pode calcular o produto vetorial fazendo o determinante também. Dá o mesmo valor. Aí fica seu critério, tá?

Portanto,

M → = M 1 → + M 2 → = - d   F 1 cos ⁡ 30 °   i ^ + F 2   s e n   30 °   j ^ + F 2 cos ⁡ 30 °   k ^

Assim, a intensidade do binário resultante será o módulo desse vetor:

= d   F 1 cos ⁡ 30 ° 2 + F 2   s e n   30 ° 2 + F 2 cos ⁡ 30 ° 2

Por causa daquela identidade cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 , ficamos com

M = d   F 1 cos ⁡ 30 ° 2 + F 2 2

Desta forma,

d = M F 1 cos ⁡ 30 ° 2 + F 2 2  

Passo 4

Substituindo M = 20   N ⋅ m , F 1 = 35   N e F 2 = 50   N , obtemos

d = 20 35 2 ⋅ 3 4 + 50 2 = 0,342   m

Portanto, d ≈ 342   m m .

Resposta

d ≈ 342   m m

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