Enunciado

Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas x 1 e x 3 . Especifique a deflexão máxima da viga. E I   é costante.

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos para mais um exercício de resmat.

Primeiro, vamos determinar as reações de apoio em função do carregamento. Para isso, vamos desenhar DCL e as reações de apoio:

Passo 2

Para determinarmos as forças de reação, vamos utilizar a equação do momento em A , temos:

∑ M A = 0 L F B - 3 L 2 P = 0 F B = 3 2 P

Para a condição no eixo y ,   temos:

∑ F y = 0 F B + F A - P = 0 F A = - P 2

Passo 3

Com isso, podemos determinar a função de momento fletor. Para 0 ≤ x 1 ≤ L .

∑ M = 0

Logo:

M x 1 + P 2 x 1 = 0 M x 1 = - P 2 x 1

E então, pelo método da integração, vamos obter a equação da linha elástica. Fica assim:

E I d v 1 2 d x 1 2 = M x = - P 2 x 1 E I d v 1 d x 1 = - P 4 x 1 2 + C 1 E I v 1 = - P 12 x 1 3 + C 1 x 1 + C 2

Passo 4

Basta repetirmos o processo para L ≤ x 3 ≤ 3 L 2 :

∑ M = 0

M x 3 + P 2 x 3 - 3 2 P x 3 - L = 0 M x 3 = P x 3 - 3 2 P L M x 1 = - P 2 x 1

Integrando:

E I d v 3 2 d x 3 2 = M x 3 = P x 3 - 3 2 P L E I d v 3 d x 3 = P 2 x 3 2   - 3 2 P L x 3 + C 3 E I v 3 = P 6 x 3 3 - 3 4 P L x 3 2 + C 3 x 3 + C 4

Passo 5

Para determinarmos as incógnitas restantes, temos que utilizar as seguintes condições de contorno:

x 1 = 0 → v 1 = 0         x 3 = L → v 3 = 0

Elas mostram que nos apoios, temos deflexão nula.

E também, estas condições de continuidade:

x 1 = x 3 = L → d v 1 d x 1 = d v 3 d x 3

Que mostram que há continuidade de inclinações no ponto B .

Substituindo condições de contorno e continuidade:

E I v 1 = - P 12 x 1 3 + C 1 x 1 + C 2 → 0 = 0 + C 2 → C 2 = 0

E I v 3 = P 6 x 3 3 - 3 4 P L x 3 2 + C 3 x 3 + C 4 → 0 = P 6 L 3 - 3 4 P L 2 + C 3 L + C 4   ( i )

- P 12 L 3 + C 1 L = P 6 L 3 - 3 4 P L 3 + C 3 L + C 4   ( i i )

- P 4 x 1 2 + C 1 = P 2 x 3 2   - 3 2 P L x 3 + C 3 → - P 4 L 2 + C 1 = P 2 L 2 - 3 2 P L 2 + C 3   ( i i i )

Resolvendo o sisteminha i , i i , ( i i i ) , achamos:

C 1 = P L 2 12     ;     C 2 = 0     ;     C 3 = 10 12 P L 2     ;     C 4 = - 3 12 P L 3

Passo 6

Com isso, temos as nossas Equações da linha elástica substituindo as reações e constantes encontradas:

v 1 = P x 1 12 E I ( - x 1 2 + L 2 )

v 3 = P 12 E I ( 2 x 3 3 - 9 L x 3 2 + 10 L 2 x 3 - 3 L 3 )

Passo 7

A deflexão máxima ou ocorre nos extremos da nossa viga ques estão em balanço ou quando v ' = 0 (inclinação nula).

Pela geometria, v ' = 0 ocorre no intervalo de x 1 . Vamos achar onde:

v 1 = P x 1 12 E I - x 1 2 + L 2 = - P x 1 3 12 E I + P x 1 L 2 12 E I +

v 1 ' = - P x 1 2 4 E I + P L 2 12 E I = 0 ∴ x 1 = L 3

Isso dá a deflexão:

v 1 = P L 12 3 E I - L 2 3 + L 2 = P L 12 3 E I - L 2 3 + L 2 = P L 3 18 3 E I

Vamos calcular a deflexão na extremidade com balanço para comparar:

v 3 3 2 L = P L 3 8 E I

E assim, a deflexão máxima ocorre em x 3 = 3 2 L , e vale:

v m á x = P L 3 8 E I

Resposta

v 1 = P x 1 12 E I ( - x 1 2 + L 2 )

v 3 = P 12 E I ( 2 x 3 3 - 9 L x 3 2 + 10 L 2 x 3 - 3 L 3 )

v m á x = P L 3 8 E I

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