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Determine a força que atua ao longo do eixo de cada um dos três suportes para sustentar o bloco de 500 kg.

Passo 1

Fala! Queremos a intensidade das forças nos cabos.

Para encontrar o valor da força em cada cabo, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas.

Logo, fazendo o diagrama de corpo livre tem-se:

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x, y e z, pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Como a geometria do problema é mais complexa, é mais jogo a gente escrever as forças na forma vetorial. Fazer a soma vetorial, e igualar cada componente dessa soma a zero, já que estamos no equilíbrio, bele? Vamos!

Passo 2

Tem-se que o bloco exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P b l o c o = 500 × 9,81 = 4905   N . Então escrevendo vetorialmente temos:

P b l o c o →     = - 4905   k

Também é possível denotar as forças F A B , F A C e F A D na forma vetorial. O que a gente precisa fazer é achar um vetor unitário na direção e sentido da força, e multiplicar a intensidade da nossa força por ele.

Percebe que para a AB, um vetor no sentido da força seria o que sai de B e vai para A. Podemos acha-lo pela diferença entre essas coordenadas desses pontos. Fazendo final menos inicial:

u A B = A - B = 0,3 ,   2.5 - 0,0 , 0 = 0,3 ,   2.5

Aí para achar o vetor unitário só dividir esse cara pelo módulo dele. Nossa força em forma vetorial fica:

F A B → = F A B 0 i + 3 j + 2,5 k 0 2 + 3 2 + 2,5 2 = F A B 3 j + 2,5 k 15,25

F A B → = F A B 3 15,25 j + 2,5 15,25 k

Fazemos o mesmo para as outras forças. Aqui nosso vetor sai de A e vai para C:

u C A = C - A = 0.75 ,   - 2 ,   0 - 0,3 ,   2.5 = 0.75 ,   - 5 ,   - 2.5

F A C → = F A C 0,75 i - 5 j - 2,5 k 0,75 2 + - 5 2 + - 2,5 2 = F A C 0,75 i - 5 j - 2,5 k 31,81

F A C → = F A C 0,75 31,81 i - 5 31,81 j - 2,5 31,81 k

u D A = D - A = - 1.25 ,   - 2 ,   0 - 0,3 ,   2.5 = - 1.25 ,   - 5 ,   - 2.5

F A D → = F A D - 1,25 i - 5 j - 2,5 - 1,25 2 + - 5 2 + - 2,5 2 = F A D - 1,25 i - 5 j - 2,5 k 32,81

F A D → = F A D - 1,25 32,81 i - 5 32,81 j - 2,5 32,81 k

Prontinho!

Passo 3

O equilíbrio requer quer o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F → = 0

- 4905   k + F A B 3 15,25 j + 2,5 15,25 k + F A C 0,75 31,81 i - 5 31,81 j - 2,5 31,81 k + F A D - 1,25 32,81 i - 5 32,81 j - 2,5 32,81 k = 0

Olhando para cada eixo, vamos igualar a soma em cada componente a zero.

∑ F x = 0

0,75 31,81 F A C - 1,25 32,81 F A D = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

3 15,25 F A B - 5 31,81 F A C - 5 32,81 F A D = 0   ( 2 )

Por fim para a componente k :

∑ F z = 0

2,5 15,25 F A B - 2,5 31,81 F A C - 2,5 32,81 F A D - 4905 = 0   3

Passo 4

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema linear de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças.

Resolvendo este sistema, obtem-se:

F A B ≅ 19,2   k N

F A C ≅ 10,4   k N

F A D ≅ 6,32   k N

Resposta

F A B ≅ 19,2   k N

F A C ≅ 10,4   k N

F A D ≅ 6,32   k N

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