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57. Determine as forças em cada um dos elementos da treliça espacial e indique se eles estão sob tração ou compressão. A treliça é apoiada por roletes em A ,   B e C .

Passo 1

Inicialmente vamos considerar todas as forças como sendo de tração, caso alguma apareça de forma negativa, saberemos que ela não é de tração, mas sim de compressão.

Vamos analisar o ponto D ,   B e A e utilizar as equações de equilíbrio referentes as forças em cada direção, pois com esses pontos conseguimos cobrir todos os membros.

Para isso vamos usar as componentes das forças em cada direção e isso pode ser feito se você observar que elas fazem parte de triângulos retângulos, mas especificamente, são as hipotenusas, logo podemos expressar suas componentes através de proporção entre os lados do triângulo.

Passo 2

Agora vamos analisar as equações de equilíbrio no ponto A .

∑ F x = 0

- 3 7 F D C + 3 7 F D A = 0

⇒ F D C = F D A

∑ F y = 0

- 2 7 F D C - 2 7 F D A + 2,5 6,5 F D B = 0

⇒ - 2 7 F D C - 2 7 F D C + 2,5 6,5 F D B = 0

⇒ 2,5 6,5 F D B = 4 7 F D C

⇒ F D B = 1,485 F D C

∑ F z = 0

- 8 - 6 7 F D C - 6 7 F D A - 6 6,5 F D B = 0

⇒ - 8 - 6 7 F D C - 6 7 F D C - 6 6,5 ( 1,486 F D C ) = 0

⇒ 3,08 F D C = - 8

⇒ F D C = - 2,59   k N

Logo:

F D A = - 2 , 5 9   k N

F D B = - 3,85   k N

Como os resultados foram negativos, essas forças não são forças de tração, mas sim de compressão.

Passo 3

Agora vamos analisar as equações de equilíbrio no ponto B .

∑ F x = 0

F B C = F B A

∑ F y = 0

- 4 , 5 29,25 F B C - 4 , 5 29,25 F B A + 3 , 85 2,5 6,5 = 0

⇒ - 4,5 29,25 F B C - 4,5 29,25 F B C + 3,85 2,5 6,5 = 0

⇒ 9 29,25 F B C = 3,85 2,5 6,5

⇒ F B C = 0,890   k N

Logo:

F B A = 0,890   k N

Como o resultado foi positivo, essas forças são realmente forças de tração.

Passo 4

Agora vamos analisar as equações de equilíbrio no ponto A .

∑ F x = 0

- F A C + 2,59 3 7 - 0,890 3 29,25 = 0

⇒ F A C = 0,616   k N

Como o resultado foi positivo, essas forças são realmente forças de tração.

Resposta

F D C = 2,59   k N   C o m p r e s s ã o

F D A = 2,59   k N   C o m p r e s s ã o

F D B = 3,85   k N     C o m p r e s s ã o

F B A = 0,890   k N     T r a ç ã o

F B C = 0,890   k N       T r a ç ã o

F A C = 0,616   k N     T r a ç ã o

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