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7- Determine a força em cada elemento da treliça e indique se esses elementos estão sob tração ou compressão.

Passo 1

Para resolver essa questão vamos primeiro calcular as reações nos apoios, sabendo que em A temos reações verticais e horizontais e em B temos somente reação vertical. O que nos dá o seguinte diagrama de forças.

Fazendo a somatória das forças verticais temos:

R A x = 3 k N

Agora fazendo a somatória das forças verticais:

R A y + R E y = 22   k N

E escolhendo o ponto A para fazer a somatória de momentos temos (considerando o sentido horário como positivo):

3 × 1.5 + 4 × 2 + 10 × 4 - 4 R E y = 0

R E y = 13.125   k N

Logo:

R A y = 22 - R E y = 8.875   k N

Passo 2

Agora que temos todas as forças ativas no sistema, chegou a hora de calcular as forças nas barras e para isso precisamos escolher o nó onde temos o maior numero de forças conhecidas para o menor numero de forças desconhecidas. Um nó um bom para começar é o nó E que terá o seguinte diagrama de forças sobre ele.

Fazendo a somatória das forças horizontais nós vamos ter:

F E F = 0   N

E a somatória das forças verticais será:

F E D + R E y = 0

F E D = - R E y = - 13.125   k N

Que pelo sinal e pela abordagem da força sair do nó (que será abordada durante todo o exercício) é um força compressiva. Além de que F E D será a mesma coisa que F D E .

Passo 3

Aquecido? Agora escolhe o ponto D ou B , bem eu escolhi o D para dificultar as coisas um pouco, então vamos lá:

Onde α é calculado pelo catetos do triângulo a qual ela pertence:

α = tan - 1 ⁡ 2 1.5 = 53.13 °

Fazendo a somatória das forças verticais temos:

F D F cos ⁡ 53.13 + F D E + 10 = 0

Como sabemos F D E do passo anterior temos:

F D F = - 10 - F D E cos ⁡ 53.13 = 5.21   k N

Uma força trativa.

Agora para a somatória das forças horizontais:

F D C + F D F sin ⁡ α = 0

F D C = - 5.21 sin ⁡ 53.13 = - 4.168   k N

Uma força compressiva.

Passo 4

Já temos 4 forças, isso é bem legal já, o passo natural seria agora ir para o nó B ou o nó A , mas não vamos fazer bullying com o B tadinho, já foi descartado da última vez.

Tem nem graça né, pela somatória das forças horizontais temos:

F B C = - 3   k N

E pela somatória das verticais:

F B A = - 8   k N

Ambas forças compressivas.

Passo 5

Agora estou afim de dificultar vou para o nó C

Não sei se deu para perceber, mas as forças que conhecemos estou marcando de preto e as que não conheço de vermelho, e além das forças conhecemos o valor de α que é 53.13 ° , faó isso para facilitar a nossa vida mesmo.

Se fizermos a somatória das forças horizontais temos F C A que será:

F C D = F C B + F C A sin ⁡ α

Substituindo:

- 4.168 = - 3 + F C A sin ⁡ 53.13

Com isso encontramos:

F C A = - 1.46   k N

Força compressiva.

Agora para a somatória das forças verticais:

4 + F C F + F C A cos ⁡ α = 0

F C F = - 4 - F C A cos ⁡ α = - 3.124   k N

Lembrando que F C A leva o sinal negativo, por que estamos adotando o mesmo padrão para todo mundo.

Passo 6

Agora vamos fazer o nó A .

Fazendo a somatória das forças horizontais temos:

R A x = F A C cos ⁡ 90 - α + F A F

Substituindo o que conhecemos temos:

3 = - 1.46 cos ⁡ ( 90 - 53.13 ) + F A F

F A F = 4.17   k N

Força trativa.

A partir daqui já começa a surgir oportunidade para verificar se os valores que calculamos até agora estão certos, se fizermos a somatória das forças verticais temos que encontrar zero.

F A B + R A Y + F A C sin ⁡ 90 - α

8.875 - 8 - 1.46 sin ⁡ 90 - 53.13 = 0   N

O que dará aproximadamente zero.

Passo 7

Na pegada de averiguar as forças que encontramos podemos calcular a resultante no nó F , se a somatória horizontal e vertical derem zero estará tudo correto.

Fazendo a somatória das forças verticais:

F F C + F F D sin ⁡ 90 - α

- 3.124 + 5.21 sin ⁡ 90 - 53.13 ≈ 0

E:

- F F A + F F D cos ⁡ 90 - α + F F E

- 4.17 + 5.21 cos ⁡ 90 - 53.13 + 0 = 0

Logo está tudo certinho.

Resposta

F E F = 0   N

F E D = 13.125   k N   ( C )

F D F = 5.21   k N   ( T )

F D C = 4.168   k N   ( C )

F B C = 3   k N   ( C )

F B A = 8   k N   ( C )

  F C A = 1.46   k N   ( C )

F C F = 3.124   k N ( C )

F A F = 4.17   k N   ( T )

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