Enunciado

Determine a força em cada elemento da treliça de telhado mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.

Passo 1

Vamos começar o exercício desenhando o diagrama de corpo livre da treliça:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

A x = 0

Devido a simetria desse tipo específico de treliça, o carregamento em y está divido igualmente em A y e E , então:

A y = E = 1,2 + 2,4 + 2,4 + 1,2 2 → H y = A = 3,6   k N

Antes de analisarmos os nós, devemos notar que o membro DF não possui nenhum esforço e como o membro EF está alinhado com a força, seu esforço é igual ao carregamento, então:

F E F = 1,2   k N   ( C )

Passo 2

Agora vamos analisar o nó A:

Aplicando semelhança de triângulos entre os triângulos de força e de comprimento, temos:

F A B 19,5 = F A C 18 = 2,4 7,5

Pegando a primeira e terceira parcela, temos:

F A B 19,5 = 2,4 7,5 → F A B = 6,24   k N   ( C )

Pegando a segunda e terceira parcela, temos:

F A C 18 = 2,4 7,5 → F A C = 2,76   k N   ( T )

Agora vamos analisar o nó B:

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

3 3,905 F B C + 18 19,5 F B D + 18 19,5 6,24 = 0 → F B C = - 7,5 - 1,2 F B D

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

- 2,5 3,905 F B C + 7,5 19,5 F B D + 5 13 6,24 - 2,4 = 0

Substituindo o valor de F B C encontrado na equação anterior:

- 2,5 3,905 - 7,5 - 1,2 F B D + 7,5 19,5 F B D + 5 13 6,24 - 2,4 = 0

F B D = - 4,16   k N → F B D = 4,16   k N   ( C )

Substituindo o valor de F D B na equação para F B C , temos:

F B C = - 7,5 - 1,2 F B D → F B C = - 2,5   k N → F B C = 2,5   k N   ( C )

Passo 3

Agora vamos analisar o nó C:

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

5 5,831 F C D - 2,5 3,905 2,5 = 0 → F C D = 1,87   k N   ( T )

Agora aplicando o somatório de forças na direção x :

+ → ∑ F x = 0

F C E - 5,76 + 3 3,905 2,5 + 3 5,831 1,87 = 0 → F C E = 2,88   k N   ( T )

Agora, analisando o nó E:

Aplicando o somatório de forças na direção y :

+ ↑ ∑ F y = 0

5 7,81 F D E + 3,6 - 1,2 = 0 → F D E = - 3,75   k N → F D E = 3,75   k N   ( C )

Resposta

F D E = 3,75   k N   ( C )

F C E = 2,88   k N   ( T )

F C D = 1,87   k N   ( T )

F B C = 2,5   k N   ( C )

F B D = 4,16   k N   ( C )

F A C = 2,76   k N   ( T )

F A B = 6,24   k N   ( C )

F E F = 1,2   k N   C

F D F = 0

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →