Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça espacial e indique se os membros estão sob tração ou compressão. Dica: a reação de apoio em E atua ao longo do membro E B . Por quê?

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui o caso de uma treliça espacial. Aqui, nesta questão, precisamos determinar a força em cada barra e se os membros estão sob tração ou compressão.

A metodologia de análise é a mesma que no caso da treliça plana. Isto é, podemos utilizar o método dos nós ou das seções.

A grande diferença é que, por ter três dimensões para analisar as contas, elas acabam dando um pouco mais de trabalho, mas não é tanto assim.

Sendo assim, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar a questão determinando a direção de atuação das forças em cada barra.

Nosso objetivo final será escrever a força como um escalar multiplicado pelo versor de cada direção. Portanto, vamos começar escrevendo os versores de cada direção. Eles são:

u → C A = C A → C A → = 3 ; 4 ; 0 3 2 + 4 2 + 0 2 = 3 5 ; 4 5 ; 0

u → D A = D A → D A → = - 3 ; 4 ; 0 - 3 2 + 4 2 + 0 2 = - 3 5 ; 4 5 ; 0

u → B A = B A → B A → = 0 ; 2 ; - 5 0 2 + 2 2 + 5 2 = 1 29 0 ; 2 ; - 5

u → D B = D B → D B → = - 3 ; 2 ; 5 - 3 2 + 2 2 + 5 2 = 1 38 - 3 ; 2 ; 5

u → C B = C B → C B → = 3 ; 2 ; 5 3 2 + 2 2 + 5 2 = 1 3 8 3 ; 2 ; 5

u → E B = E B → E B → = 0 ; 2 ; 0 0 2 + 2 2 + 0 2 = 0 ; 1 ; 0

Agora, que sabemos os versores de cada direção, podemos aplicar o método dos nós.

Passo 3

Vamos começar aplicando o método dos nós para o nó A .

Como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

F + λ C A u → C A + λ D A u → D A + λ B A u → B A = 0

0 , 0 , - 6 + 3 5 λ C A ; 4 5 λ C A ; 0 + - 3 5 λ D A ; 4 5 λ D A ; 0 + 0 ; λ B A 29 ; - 5 29 λ B A = 0

3 5 λ C A - 3 5 λ D A = 0 4 5 λ C A + 4 5 λ D A + λ B A 29 = 0 - 6 - 5 29 λ B A = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ B A = - 6,46 e λ D A = λ C A = 1,5 .

Como os versores foram definidos para ter extremidade final no ponto A . Então, podemos dizer que as forças estão “apontando para o nó A”. Em outras palavras, as forças foram definidas como compressivas.

Sendo assim, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F B A = 6,46   k N   T r a ç ã o

F D A = F C A = 1,5   k N   C o m p r e s s ã o

Passo 4

Agora é só repetirmos o mesmo procedimento, só que para os outros nós! Vamos para o nó B então!

Só devemos tomar um único cuidado! A força F B A = λ B A u → B A que obtivemos no Passo anterior deve mudar de sentido aqui, pois estamos analisando o outro extremo da barra.

Portanto, vamos escrever - λ B A u → B A ao fazermos o nosso somatório.

Então, como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

- λ B A u → B A + λ D B u → D B + λ C B u → C B + λ E B u → E B = 0

0 ; 2,4 ; - 6 + - 3 38 λ D B ; 2 38 λ D B ; 5 38 λ D B + 3 3 8 λ C B ; 2 3 8 λ C B ; 5 3 8 λ C B + 0 ; λ E B ; 0 = 0

- 3 3 8 λ D B + 3 3 8 λ C B = 0 2,4 + 2 3 8 λ D B + 2 3 8 λ C B + λ E B = 0 - 6 + 5 3 8 λ D B + 5 3 8 λ C B = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ D B = λ C B = 3,7 e λ E B = - 4,8 .

Relembrando, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F B D = F C B = 3,7   k N   C o m p r e s s ã o

F E B = 4,8   k N   T r a ç ã o

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F B A = 6,46   k N   T r a ç ã o

F D A = F C A = 1,5   k N   C o m p r e s s ã o

F B D = F C B = 3,7   k N   C o m p r e s s ã o

F E B = 4,8   k N   T r a ç ã o

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Determine a força nos membros K J ,N J ,N D eC D da treliça K . Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Dica: use as seções a a e b b .
Determine a  força em cada membro da  treliça.  Indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine a  força em cada membro da  treliça.  Indique se os membros estão sob tração ou compressão.
Determine  a  força  nos  membros  B C ,  C F  e  F E .  Indique  se  os  membros  estão  sob  tração  ou  compressão.
Determine  a  força  nos  membros  AE  e  DC.  Indique  se  os  membros  estão  sob  tração  ou  compressão