Enunciado

A treliça espacial suporta uma força F = - 400 i → + 500 j → + 600 k →   N . Determine a força em cada membro e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui o caso de uma treliça espacial. Aqui, nesta questão, precisamos determinar a força em cada barra e se os membros estão sob tração ou compressão.

A metodologia de análise é a mesma que no caso da treliça plana. Isto é, podemos utilizar o método dos nós ou das seções.

A grande diferença é que, por ter três dimensões para analisar as contas, elas acabam dando um pouco mais de trabalho, mas não é tanto assim.

Sendo assim, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar a questão determinando a direção de atuação das forças em cada barra.

Nosso objetivo final será escrever a força como um escalar multiplicado pelo versor de cada direção. Portanto, vamos começar escrevendo os versores de cada direção. Eles são:

u → A D = A D → A D → = - 1,5 ; 1 ; 3 - 1,5 2 + 0 2 + 3 2 = 1 3,5 - 1,5 ; 1 ; 3

u → B A = B A → B A → = 1,5 ; - 2 ; 0 1,5 2 + - 2 2 + 0 2 = 1 2,5 1,5 ; - 2 ; 0

u → C A = C A → C A → = 3 ; 0 ; 0 3 2 + 0 2 + 0 2 = 1 ; 0 ; 0

u → B C = B C → B C → = - 1,5 ; - 2 ; 0 - 1,5 2 + - 2 2 + 0 2 = 1 2,5 - 1,5 ; - 2 ; 0

u → B D = B D → B D → = 0 ; - 1 ; 3 0 2 + - 1 2 + 3 2 = 1 10 0 ; - 1 ; 3

u → C D = C D → C D → = 1,5 ; 1 ; 3 1,5 2 + 1 2 + 3 2 = 1 3,5 1,5 ; 1 ; 3

Agora, que sabemos os versores de cada direção, podemos aplicar o método dos nós.

Passo 3

Vamos começar aplicando o método dos nós para o nó D .

Como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

F + λ A D u → A D + λ B D u → B D + λ C D u → C D = 0

- 400,500,600 + - 1,5 λ A D 3,5 ; λ A D 3,5 ; 3 λ A D 3,5 + 0 ; - λ B D 10 ; 3 λ B D 10 + 1,5 λ C D 3,5 ; λ C D 3,5 ; 3 λ C D 3,5 = 0

- 400 - 1,5 λ A D 3,5 + 1,5 λ C D 3,5 = 0 500 + λ A D 3,5 - λ B D 10 + λ C D 3,5 = 0 600 + 3 λ A D 3,5 + 3 λ B D 10 + 3 λ C D 3,5 = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ A D = - 1,08 ⋅ 10 3 , λ B D = 474 e λ C D = - 146 .

Como os versores foram definidos para ter extremidade final no ponto D . Então, podemos dizer que as forças estão “apontando para o nó D”. Em outras palavras, as forças foram definidas como compressivas.

Sendo assim, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F A D = 1,08   k N   T r a ç ã o

F B D = 474   N   C o m p r e s s ã o

F C D = 1 46   k N   T r a ç ã o

Passo 4

Agora é só repetirmos o mesmo procedimento, só que para os outros nós! Vamos para o nó A então!

Só devemos tomar um único cuidado! A força F A D = λ A D u → A D que obtivemos no Passo anterior deve mudar de sentido aqui, pois estamos analisando o outro extremo da barra.

Portanto, vamos escrever - λ A D u → A D ao fazermos o nosso somatório.

Então, como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

- λ A D u → B D + λ C A u → C A + λ B A u → B A + R A = 0

- 462,8 ; 308,6 ; 925,7 + λ C A ; 0 ; 0 + 1,5 λ B A 2,5 ; - 2 λ B A 2,5 ; 0 + 0 , 0 , A z = 0

- 462,8 + λ C A + 1,5 λ B A 2,5 = 0 308,6 - 2 λ B A 2,5 = 0 925,7 + A z = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ B A = 385 e λ C A = 231 . A força R A nós não precisamos calcular. Ela surgiu devido a barra vertical que tem no ponto A , o que confere a rigidez ao sistema.

Relembrando, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F B A = 385   N   C o m p r e s s ã o

F C A = 231   N   C o m p r e s s ã o

Passo 5

Para finalizarmos a questão, vamos para o nó C . Novamente, não esqueçam de inverter o sentido das forças F C A e F C D .

Então, como temos equilíbrio, pelo somatório de forças temos:

- λ C A u → C A - λ C D u → C D + λ B C u → B C + R C = 0

- 231 ; 0 ; 0 + 62,6 ; 41,7 ; 125,1 + - 1,5 λ B C 2,5 ; - 2 λ B C 2,5 ; 0 + 0 , C y , C z = 0

- 231 + 41,7 - 1,5 λ B C 2,5 = 0 27,8 - 2 λ B C 2,5 + C y = 0 83,4 + C z = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos que λ B C = - 281 . A força R C nós não precisamos calcular. Ela surgiu devido as duas barras conectadas no ponto C , o que confere a rigidez ao sistema.

Relembrando, se obtermos λ > 0 , temos forças compressivas. Caso contrário, forças trativas.

Portanto, as forças em cada membro serão:

F B C = 281   N   T r a ç ã o

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F A D = 1,08   k N   T r a ç ã o

F B D = 474   N   C o m p r e s s ã o

F C D = 146   k N   T r a ç ã o

F B A = 385   N   C o m p r e s s ã o

F C A = 231   N   C o m p r e s s ã o

F B C = 281   N   T r a ç ã o

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