Enunciado

Determine a força em cada membro da treliça e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Mecânica. Para determinarmos a força em cada braço da treliça, vamos primeiro esboçar o DCL:

Agora, que representamos as reações de apoio, vamos determiná-las através das equações de equilíbrio. Temos que a resultante das forças no eixo x vai ser:

∑ F x = 0 3 - A x = 0 A x = 3   k N

E para y , temos:

∑ F y = 0 A y - 8 - 4 - 10 + E y = 0 A y + E y = 22

Para o momento, temos:

∑ M A = 0 3 ∙ 1,5 + 4 ∙ 2 + 10 ∙ 4 - E y ∙ 4 = 0 E y = 13,125   k N

Logo:

A y + E y = 22 A y + 13,125 = 22 A y = 8,875   k N

Passo 2

Com isso, podemos determinar a força de cada braço da treliça e concluir se eles estão em tração ou compressão. Para isso, vamos utilizar o método dos nós.

Vamos começar pelo nó B pois temos menos variáveis que o nó A . Logo, vamos esboçar os esforços neste nó:

Com isso, vamos utilizar as equações de equilíbrio:

∑ F x = 0 F B C + 3 = 0 F B C = - 3   k N   ( C o m p r e s s ã o )

E também:

∑ F y = 0 - F A B - 8 = 0 F A B = - 8   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 3

Agora que a gente conseguiu diminuir o número de incógnitas, já podemos calcular os esforços no nó A . Pelo DCL, temos:

Desta vez, antes de utilizarmos as equações de equilíbrio, precisamos decompor a força F A C . Para isso, precisamos encontrar o ângulo θ entre esta força e o eixo x . Sabemos que:

tan ⁡ θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = 1,5 2 θ = tan - 1 ⁡ 1,5 2 θ = 36,87 °

Pelas equações de equilíbrio, temos:

∑ F y = 0 - 8 + F A C cos ⁡ ( 36,87 ° ) + 8,875 = 0 F A C = - 1,458   k N   ( C o m p r e s s ã o )

E também:

∑ F x = 0 F A C sin ⁡ ( 36,87 ° ) - 3 + F A F = 0 F A F = 4,167   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 4

Vamos seguir determinando os esforços através dos nós, o processo vai ser o mesmo. Primeiro, para o nó E , vamos esboçar os esforços neste nó:

Com isso, vamos utilizar as equações de equilíbrio:

∑ F y = 0 F E F + 13,125 = 0 F E F = - 13,125   k N   ( C o m p r e s s ã o )

E também:

∑ F x = 0 - F D E - 8 = 0 F D E = 0

Passo 5

Em seguida, vamos calcular os esforços no nó F . Pelo DCL, temos:

Por semelhança de triângulos, temos que o ângulo θ vai ser o mesmo:

θ = 36,87 °

Pelas equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 F D F sin ⁡ ( 36,87 ° ) - 4,167 = 0 F D F = 5,208   k N   ( T r a ç ã o )

E também:

∑ F y = 0 - F D F cos ⁡ 36,87 ° + F C F = 0 F C F = - 3,125   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 6

Por fim, vamos determinar os esforços a partir do nó D . Temos por semelhança de triângulos que:

Com isso, vamos utilizar as equações de equilíbrio:

∑ F x = 0 - F C D - F D F cos ⁡ ( 36,87 ° ) = 0 F C D = - 4,167   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Opa, é isso, galera. Bora praticar mais!!!

Resposta

F B C = - 3   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F A B = - 8   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F A C = - 1,458   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F A F = 4,167   k N   ( T r a ç ã o )

F E F = - 13,125   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F D E = 0

F D F = 5,208   k N   ( T r a ç ã o )

F C F = - 3,125   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F C D = - 4,167   k N   ( C o m p r e s s ã o )

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