Enunciado

Determine a força horizontal máxima P que pode ser aplicada ao carrinho de massa M para que a roda não deslize quando começar a rolar sobre o carrinho. A roda tem massa m , raio r e raio de giração k - . Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre a roda e o carrinho são μ s e μ k , respectivamente.

Passo 1

Vamos chamar de a c a aceleração do centro de massa do carrinho. Se aplicarmos a segunda lei de Newton sobre o carrinho na direção horizontal, vamos encontrar o seguinte:

∑ F x = M a c

Quais são as forças que agem nessa direção? Primeiro temos a força P apontando para a direita.

E segundo, no caso em que a roda não desliza, temos a reação à força F de atrito estático entre a roda e o carrinho apontando para a esquerda:

P - F = M a C

E como a superfície do carrinho é horizontal, podemos escrever a força de atrito da seguinte forma:

F = μ s m g

E então:

P - μ s m g = M a C

Portanto, a força P no caso em que a roda não desliza é:

P = M a C + μ s m g

E todas essas variáveis foram dadas no enunciado, com exceção da aceleração a C do carrinho, e é ela quem precisamos calcular.

Passo 2

Vamos ver o que conseguimos descobrindo analisando as forças que agem sobre a roda:

Vamos aplicar a primeira lei de Newton na direção horizontal:

∑ F x = m a c m

E no caso em que não ocorre deslizamento, a força F é o atrito estático entre a roda e o carrinho:

F = μ s m g = m a c m

a c m = μ s g

E vamos considerar também a soma dos momentos em relação ao centro de massa C M :

∑ M c m = I c m α

E a única força que produz momento nesse caso é F = μ s m g , e o momento de inércia pode ser calculado em função do raio de giração:

μ s m g r = m k - 2 α

μ s g r = k - 2 α

α = μ s g r k - 2

Passo 3

E como isso tudo pode se relacionar com a aceleração a C do carrinho que precisamos achar?

Bom, no caso em que não ocorre deslizamento (apenas rolamento) a aceleração do ponto P da roda deve ser igual à aceleração do centro de massa do carrinho:

a P = a C

E a acelerção do ponto P pode ser escrita em função da aceleração a c m do centro de massa da roda usando a seguinte fórmula:

a P = a c m + a P / c m

E nesse caso, a única aceleração do ponto P em relação ao centro de massa está associada à aceleração angular α de rolamento:

a P = a c m + r α = a C

Agora podemos substituir os resultados que encontramos acima:

a C = μ s g + r μ s g r k - 2

a C = μ s g 1 + r 2 k - 2

Agora é só substituir isso na equação que encontramos no primeiro passo:

P = M a C + μ s m g

P = M μ s g 1 + r 2 k - 2 + μ s m g

P = μ s g M 1 + r 2 k - 2 + m

Resposta

A força máxima é P = μ s g M 1 + r 2 k - 2 + m .

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