Enunciado

Determine a força P necessária para manter o cabo na posição mostrada, ou seja, de modo que o segmento B C permaneça horizontal. Além disso, calcule a flecha y B e a tração máxima no cabo

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui nesta questão, para um cabo submetido a três cargas concentradas diferentes, precisamos determinar qual a força P que mantém o segmento B C na horizontal.

Além disto, devemos determinar também a flecha y B e a tração máxima no cabo (calcular a tração em cada trecho e identificar o maior valor).

Bom, para que possamos fazer isto tudo, esta questão nos dará um pouco de trabalho, pois temos que utilizar o método dos nós para cada um dos pontos B , C e D .

Mas, para isto, vamos utilizar o fato de que as trações nas cordas estão na direção das mesmas!

Sendo assim, vamos para as contas.

Passo 2

Como o nosso objetivo é analisar o equilíbrio em torno de cada nó, vamos começar analisando o nó B . Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ T B C - T A B 4 16 + y B 2 = 0 T A B y B 16 + y B 2 - 4 = 0

Reorganizando o sistema, temos:

T B C = 16 y B T A B = 4 16 + y B 2 y B

E aí vamos deixar elas paradas momentaneamente e vamos para o nó C .

Passo 3

Agora vamos repetir o procedimento para o nó C . Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ T C D 3 9 + y B - 3 2 - T B C = 0 T C D y B - 3 9 + y B - 3 2 = P

Reorganizando as equações, temos:

T C D = T B C 9 + y B - 3 2 3 T B C y B - 3 3 = P

E aí novamente vamos deixar elas paradas momentaneamente, e partir para o nó D .

Passo 4

Agora vamos repetir o procedimento para o nó D. Esboçando o seu diagrama de corpo livre, temos:

Aplicando as equações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ T D E 2 13 - T C D 3 9 + y B - 3 2 = 0 T D E 3 13 - T C D y B - 3 9 + y B - 3 2 - 6 = 0

Reorganizando as equações, temos:

T D E = T C D 3 13 2 9 + y B - 3 2 T C D = 6 9 + y B - 3 2 15 2 - y B

E assim terminamos de trabalhar com todos os nós.

Passo 5

Agora é só juntarmos todas as relações que nós obtivemos nos Passos 2, 3 e 4 e resolvemos o sistema. Relembrando as equações, temos:

T B C = 16 y B T A B = 4 16 + y B 2 y B T C D = T B C 9 + y B - 3 2 3 T B C y B - 3 3 = P T D E = T C D 3 13 2 9 + y B - 3 2 T C D = 6 9 + y B - 3 2 15 2 - y B

Juntando a primeira, terceira e sexta equação nós obtemos:

T C D = 6 9 + y B - 3 2 15 2 - y B

T B C 9 + y B - 3 2 3 = 6 9 + y B - 3 2 15 2 - y B

16 y B 9 + y B - 3 2 3 = 6 9 + y B - 3 2 15 2 - y B

16 y B = 18 15 2 - y B

18 y B = 16 15 2 - y B ⟹ y B = 3,53   m

Agora que obtivemos o valor de y B é só sair substituindo nas equações do nosso sistema para encontrar o valor da força P e da máxima tração no cabo (obter todas as trações e depois escolher o maior valor). Portanto,

T B C = 4,53   k N

T A B = 6,05   k N

T C D = 4,6   k N

T D E = 8,17   k N

P = 0,8   k N

Portanto, T m á x = T D E = 8,17   k N .

E assim finalizamos a questão!

Resposta

y B = 3,53   m

P = 0,8   k N

T m á x = T D E = 8,17   k N

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