Responde Aí

Enunciado

Determine as forças nos elementos A C e A D da treliça carregada.

Passo 1

Vamos resolver as equações de equilíbrio no eixo x e no eixo y para cada nó. T determinará que a força no elemento é de tração e C que é de compressão. Nas equações, consideraremos todas de tração, tendo sinal negativo as que são de compressão.

Passo 2

Para fazer as equações para o nó B, primeiro precisamos descobrir o ângulo θ entre B C e a horizontal. Se Posicionarmos a origem no centro do círculo que tem o arco B E , com a coordenada x apontada para a direita e y para cima, teremos a equação do círculo com centro em ( 0,0 ) e raio 1,2 :

x 2 + y 2 = 1,2 2 = 1,44

Como vemos na figura, também podemos relacionar o tamanho A C - com x e y . Chamando A C - de d , temos:

y = 1,2 - d sen ⁡ 25 °

- x = 1,2 - d cos ⁡ 25 ° ⇒ x = d cos ⁡ 25 ° - 1,2

Então podemos fazer:

x 2 + y 2 = 1,44 ⇒ 1,2 - d sen ⁡ 25 ° 2 + d cos ⁡ 25 ° - 1,2 2 = 1,44

Abrindo os quadrados:

1,44 - 2,4 d sen ⁡ 25 ° + d 2 sen 2 ⁡ 25 ° + d 2 cos 2 ⁡ 25 ° - 2,4 d cos ⁡ 25 ° + 1,44 = 1,44

⇒ 2,88 - 2,4 d sen ⁡ 25 ° + cos ⁡ 25 ° + d 2 sen 2 ⁡ 25 ° + cos 2 ⁡ 25 ° = 1,44

Sabemos que ( sen 2 ⁡ 25 ° + cos 2 ⁡ 25 ° ) = 1 . Substituindo o seno e cosseno:

1,44 + 2,4 d 0,4226 + 0,9063 + d 2 = 0

⇒ d 2 - 3,1894 d + 1,44 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau encontramos d :

Δ = 3,1894 2 - 4.1 . 1,44 = 4,412

d = 3,1894 - 4,412 2 = 0,5445   m

Agora conseguimos achar θ , da seguinte maneira:

tg ⁡ θ = d sen ⁡ 25 ° 1,2 - d cos ⁡ 25 ° = 0,5445 0,4226 1,2 - 0,5445 0,9063 = 0,3257

θ = arctan ⁡ ( 0,3257 ) = 18,04 °

Pronto, agora como temos θ   podemos calcular as forças para o nó B .

Passo 3

Temos a seguinte configuração de forças:

Fazendo a equação de forças em y encontramos B C , que é de compressão:

B C sen ⁡ 18,04 ° - 2 = 0 ⇒ B C = 2 sen ⁡ 18,04 °

⇒ B C = 6,458   k N   ( C )

Passo 4

Agora que temos B C , podemos ir para o nó C para encontrar A C :

Precisamos saber quem é esse ângulo β . Olhando o triângulo A C D , que é isósceles, achamos o ângulo:

β + 25 ° = 70 ° ⇒ β = 45 °

Passo 5

Fazemos então as equações de equilíbrio em C :

∑ F x = 0 ⇒ - A C cos ⁡ 25 ° - C D cos ⁡ 45 ° - B C cos ⁡ 18,04 ° = 0  

Substituindo os senos e o valor de B C :

- 0,9063 A C - 0,7071 C D - 0,9508 6,458 = 0

Isolamos C D para substituirmos na próxima equação:

0,7071 C D = - 0,9063 A C - 6,14

∑ F y = 0 ⇒ A C sen ⁡ 25 ° - B C sen ⁡ 18,04 ° - C D sen ⁡ 45 ° = 0

Substituindo os senos e o valor de B C e C D encontrado anteriormente:

0,4226 A C - 0,3097 6,458 - 0,7071 C D = 0

⇒ 0,4226 A C - 2 + 0,9063 A C + 6,14 = 0

⇒ 1,329 A C + 4,14 = 0 ⇒ A C = - 4,14 1,329 = 3,115   k N   ( C )

O valor negativo indica que erramos o sentido e a força é na verdade de compressão. Agora, pela simetria que há entre A C e A D no nó A:

A D = A C = 3,115   k N   ( C )

Resposta

A D = A C = 3,115   k N   ( C )

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