Enunciado

1. Determine por integração direta o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo y .

Passo 1

Bom! Primeiramente, a partir da imagem da superfície vamos fazer um esboço do elemento diferencial que servirá de base para nosso cálculo:

A partir desse esboço podemos estabelecer a seguinte relação proporcional, dada as dimensões da superfície que nos são fornecidas no enunciado:

b h = x y

y = h x b

Passo 2

Agora, vamos lembrar que a expressão do momento de inércia em relação a y , é dada por:

d I y = x 2 d A

A imagem não ajuda muito! Você provavelmente deve estar pensando como raios vamos obter a área d A daquele elemento diferencial ali; mas saiba que aquilo era pra ser um retângulo. Sendo assim, se considerarmos que o triângulo é formado por uma série de pequenos retângulos infinitesimais, a área d A é facilmente dada por:

d A = h - y d x

Só que:

y = h x b

O que nos leva à:

d A = h - h x b d x

Passo 3

Substituindo em seguida, o d A na expressão do momento de inércia:

d I y = x 2 h - h x b d x

d I y = x 2 h - h x 3 b d x

Pronto! Só falta integrar essa expressão! O limite de integração é a principal úvida que pode surgir. Só que como estamos trabalhando com um diferencial em x , fica fácil perceber que nosso limite vai de 0   até b :

I y = ∫ 0 b x 2 h - h x 3 b d x

I y = h x 3 3 - h x 4 4 b 0 b

I y = h b 3 3 - h b 4 4 b

I y = h b 3 3 - h b 3 4

I y = h b 3 12

Resposta

I y = h b 3 12

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