Enunciado

2. Determine por integração direta o momento de inércia da superfície sombreada em relação ao eixo y .

Passo 1

Bom! Primeiramente, a partir da imagem da superfície vamos fazer um esboço do elemento diferencial que servirá de base para nosso cálculo:

E da figura do enunciado, dado que:

y = k x

Conforme podemos ver, quando x vale a , y vai valer a ; o que nos leva à:

a = k a

k = a 2

Obtido o valor de k , temos que a função é dada por:

y = a 2 x

Passo 2

Agora, vamos lembrar que a expressão do momento de inércia em relação a y , é dada por:

d I y = x 2 d A

A imagem não ajuda muito! Você provavelmente deve estar pensando como raios vamos obter a área d A daquele elemento diferencial ali; mas saiba que aquilo era pra ser um retângulo. Sendo assim, se considerarmos que a nossa superfície é formado por uma série de pequenos retângulos infinitesimais, a área d A é facilmente dada por:

d A = y d x

Só que:

y = a 2 x

O que nos leva à:

d A = a 2 x d x

Passo 3

Substituindo em seguida, o d A na expressão do momento de inércia:

d I y = x 2 a 2 x d x

d I y = a 2 x d x

Pronto! Só falta integrar essa expressão! O limite de integração é a principal úvida que pode surgir. Só que como estamos trabalhando com um diferencial em x , fica fácil perceber que nosso limite vai de 0   até 2 a :

I y = ∫ a 2 a a 2 x d x

I y = a 2 x 2 2 a 2 a

I y = 4 a 4 2 - 1 a 4 2

I y = 3 a 4 2

Resposta

I y = 3 a 4 2

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