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Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t .

Passo 1

Estratégia de resolução: Vamos calcular a força que atua na aba inclinada, depois vamos utilizar o somatório de momentos em O ' para calcular a distância e . Como a força F 3 está sobre o ponto O ' , ela não precisa ser calculada.

Para isso vamos precisar calcular o momento de inércia da seção e desenvolver uma fórmula que represente o momento estático nas abas AB e BC.

Passo 2

O momento de inércia é calculado facilmente, pois o chanfro é tão pequeno que pode ser desconsiderado. Então podemos considerar a seção BB’ como uma única barra.

I C C ' = I B B '

I B C = I C ' B '

I = I C C ' + I B B ' + I B C + I C ' B '

I = 2 ⋅ t ⋅ 200 3 12 + 2 100 ⋅ t 3 12 + 100 t ⋅ 100 2

Como t é uma espessura fina: t 3 → 0

I = 2 ⋅ t ⋅ 200 3 12 + 2 ⋅ 100 t ⋅ 100 2

I = 1 3 ⋅ 10 7 ⋅ t

Passo 3

MOMENTO ESTÁTICO AB

Vamos usar a figura acima pra gerar a função do momento estático na barra AB

Q 1 = Q a m a r e l o x

Q 1 = x 1 ⋅ t ⋅ x 1 2

Q 1 = x 1 2 t 2

MOMENTO ESTÁTICO BC

Q 2 = Q a m a r e l o + Q v e r d e x

Q 2 = 100 ⋅ t ⋅ 50 + x 2 ⋅ t ⋅ 100

Q 2 = t ( 5 00 0 + 100 x 2 )

Passo 4

Agora que temos os momentos estáticos, podemos integrar a equação do fluxo de cisalhamento para obter as forças:

CALCULANDO FORÇA 1:

Para encontrar a força sobre a aba basta integrar o fluxo de cisalhamento:

F 1 = ∫ 0 100 q 1 ⋅ d x  

F 1 = ∫ 0 100 V Q 1 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 1 = ∫ 0 100 P Q 1 I ⋅ d x  

F 1 = P I ∫ 0 100 Q 1 ⋅ d x  

Substituindo o momento estático

F 1 = P I ∫ 0 100 t x 1 2 2 ⋅ d x  

F 1 = P t 2 I ∫ 0 100 x 1 2 ⋅ d x  

Efetuando a integral:

F 1 = P t 2 I ⋅ x 1 3 3 0 100    

F 1 =   P t 2 I ⋅ 100 3 3 0 100  

F 1 = 10 6 ⋅ P t 6 I    

Substituindo o momento de inercia:

F 1 = 10 6 ⋅ P t 6 ⋅ 1 3 ⋅ 10 7 ⋅ t    

F 1 = P 20    

Chegamos numa expressão para a Força 1:

F 1 = 0,05 P    

CALCULANDO FORÇA 2:

F 2 = ∫ 0 100 q 2 ⋅ d x  

F 2 = ∫ 0 100 V Q 2 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 2 = ∫ 0 100 P Q 2 I ⋅ d x  

F 2 = P I ∫ 0 100 Q 2 ⋅ d x

Substituindo o momento estático

F 2 = P I ∫ 0 100 t ( 5000 + 100 x 2 ) ⋅ d x

Efetuando a integral:

F 2 = P t I 5000 x 2 + 50 x 2 2 0 100

F 2 = 10 6 P t I

Substituindo o momento de inercia:

F 2 = 10 6 P t 1 3 ⋅ 10 7 ⋅ t

Chegamos numa expressão para a Força 2:

F 2 = 0,3 P

Passo 5

Agora fazemos o somatório de momentos em O '

∑ M O ' = 0 ⇒ P e - 2 F 1 ⋅ 100 - F 2 ⋅ 200 = 0

P e = 200 F 1 + F 2

P e = 200 0,05 P + 0,3 P

e = 70   m m

Resposta

e = 70   m m

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