Enunciado

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t .

Passo 1

Fala, meu querido! A gente precisa achar a localização do centro de cisahamento. Esse centro é por onde passa a linha de ação da nossa força sem que haja torção na viga. (ele nem sempre coincide com o centroide).

Para achar ele, vamos usar nossa imaginação e trabalhar com umas grandezas genéricas, tá? Imagina que a gente tem uma força P sendo aplicada nessa viga no seu centro de cisalhameto.

E na viga, serão gerados esforços internos para reagir a essa força, como a gente colocou na figura:

Observe a distribuição de forças geradas sobre a viga. Elas vão gerar um momento sobre a viga e isso gera uma “torção na viga”

O centro de cisalhamento é o ponto O onde uma força P aplicada, gera um momento equivalente ao das forças internas, anulando a torção na nossa viga como um todo.

Pra calcular isso, vamos integrar o fluxo de cisalhamento sobre a viga para determinar as forças internas em função de P . Depois vamos fazer um cálculo de momento equivalente, para determinar a distância e .

Como já conhecemos a força que atua no ponto O (que é o próprio P ), então vamos fazer este cálculo de momentos em relação ao ponto O ' . Dessa forma não vamos precisar calcular as forças F 2 e F 3 .

Respira e vem comigo!

Passo 2

Começamos calculando o momento de inércia

I = 1 12 t 1 ⋅ h 1 3 + 1 12 b - t 1 2 - t 2 2 ⋅ t 3 3 + 1 12 t 2 ⋅ h 2 3

I = 1 12 t ⋅ h 1 3 + 1 12 b - t ⋅ t 3 + 1 12 t ⋅ h 2 3

Observe que t é a espessura de uma parede fina. Isso quer dizer que t é muito menor que as outras dimensões. Em outras palavras, perto de t , podemos considerar que:

t 2 → 0

t 3 → 0

Com isso podemos simplificar a expressão e considerar que o momento de inércia de 3 tende a zero.

I = 1 12 t ⋅ h 1 3 + 1 12 t ⋅ h 2 3

Chegamos numa expressão para o momento de inércia.

I = t 12 ( h 1 3 + h 2 3 )

Passo 3

Vamos uma expressão pro momento estático:

A gente quer aqui achar F 1 , que é a força só sobre a metade dessa aba 1. Então só precisamos calcular o momento estático em relação a essa parte da aba.

Como a gente vai usar ele numa integral depois, vamos calcula-lo em função de x 1 (origem no eixo de simetria da seção).

O momento estático é:

Q 1 = A 1 ⋅ x 1 c g

Q 1 = h 1 2 - x 1 ⋅ t ⋅ x 1 + h 1 2 - x 1 2

Q 1 = h 1 2 - x 1 ⋅ t ⋅ x 1 + h 1 4 - x 1 2

Q 1 = h 1 2 - x 1 ⋅ t ⋅ x 1 2 + h 1 4

Q 1 = t 2 h 1 2 - x 1 ⋅ h 1 2 + x 1

Chegamos numa expressão pro momento estático.

Q 1 = t 2 h 1 2 4 - x 1 2

Observe que para esse momento estático 0 < x 1 < h 1 2 , pela figura, pois estamos olhando só para a metade da aba 1.

Passo 4

Para encontrar a força sobre a aba 1 basta integrar o fluxo de cisalhamento:

F 1 = ∫ 0 h 1 2 q 1 ⋅ d x  

A fórmula do fluxo de cisalhamento é:

q = V Q 1 I

F 1 = ∫ 0 h 1 2 V Q 1 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P .

F 1 = ∫ 0 h 1 2 P Q 1 I ⋅ d x  

Tirando o que é constante da integral:

F 1 = P I ∫ 0 h 1 2 Q 1 ⋅ d x  

Substituindo o momento estático

F 1 = P I ∫ 0 h 1 2 t 2 h 1 2 4 - x 1 2 ⋅ d x  

Efetuando a integral:

F 1 = P t 2 I ⋅ h 1 2 4 x 1 - x 1 3 3 0 h 1 2    

F 1 = P t 2 I ⋅ h 1 3 8 - h 1 3 24    

Chegamos numa expressão para força na aba:

F 1 = P t 24 I ⋅ h 1 3    

Passo 5

Agora vamos calcular o somatório de momentos em O ' . Ele precisa ser igual há zero porque não podemos ter torção na nossa seção.

Repara que temos duas F 1 , uma em cada metade da aba. Pela simetria elas valem a mesma coisa.

∑ M O ' = 0 ⇒ - 2 F 1 ⋅ b + P ⋅ e = 0

e = 2 F 1 b P

Substituindo F 1 :

e = 2 b P ⋅ P t 24 I ⋅ h 1 3

e = 2 t b 24 ⋅ 1 I ⋅ h 1 3

Substituindo o momento de inércia:

e = 2 t b 24 ⋅ 12 t ( h 1 3 + h 2 3 ) ⋅ h 1 3

e = b h 1 3 ( h 1 3 + h 2 3 )

Simplificando:

e = b 1 + h 2 3 / h 1 3

Resposta

e = b 1 + h 2 / h 1 3  

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