Enunciado

Determine o momento de inércia de massa I y do sólido formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y . A massa total do sólido é 1500   k g .

Passo 1

O problema pede que encontremos o momento de inércia no eixo y .

Primeiro, vamos pensar sobre a massa:

m = ρ ⋅ V

De forma derivada fica:

d m = ρ ⋅ d V = ρ π r 2 d y

Sabemos que:

r = z = 1 4 y 3 2

Logo:

d m = ρ π 1 4 y 3 2 2 d y

Simplificando tudo fica:

d m = ρ π 16 y 3 d y

Passo 2

Agora, vamos calcular a massa usando calculo integral, com o que a gente acabou de descobrir no passo 1:

m = ∫ d m = ∫ 0 4 ρ π 16 y 3 d y

Resolvendo a integral, temos que:

m = 4 ρ π

Onde, já sabemos que m = 1500   k g , então:

m = 4 ρ π = 1500

Logo:

ρ = 375 π   k g / m 3

Passo 3

Agora sim vamos para o momento de inércia no eixo y , para isso a gente sabe que de forma derivada temos:

d I y = 1 2 d m ( r ) 2

Ou seja:

d I y = 1 2 ρ π r 2 d y r 2 = ρ π 2 r 4   d y

d I y = ρ π 2 1 4 y 3 2 4 d y = ρ π 512 y 6 d y

Calculamos então, o momento de inércia pela integral:

I y = ∫ d I y = ∫ 0 4 ρ π 512 y 6 d y

Resolvendo, a gente encontra:

I y = 32 7 ⋅ ρ π

Agora, vamos substituir o ρ , que a gente encontrou no passo 2, lembra?

I y = 32 7 375   π π

I y = 1714   k g / m 2

Resposta

I y = 1714   k g / m 2

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