Determine a profundidade h do furo de 100   m m de diâmetro feito na base do cone de modo que o centro de massa do sólido resultante esteja localizado em z - = 115   m m . O material tem densidade de 8   M g / m 3 .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema temos que determinar a profundidade h de um furo em um cone de modo que o centro de massa do cone esteja localizado em z - = 115   m m .

Foi dito que o furo tem 100   m m de diâmetro e que a densidade do material é de 8   M g / m 3 .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema temos que lembrar que a coordenada z do centro de massa de um objeto pode ser calculado como:

z - = ∑ z - ' V ∑ V

Sendo que um furo é expresso como um volume negativo.

Bora la!

Passo 2

Nesse caso temos dois volumes... um cone e um furo na base do cone.

Para o cone, temos:

V C o n e = π l R 2 3

Pela figura do enunciado, temos que R = 150   m m , logo:

V C o n e = π · 500 · 150 2 3 = 375 π · 10 4   m m 3

Já a coordenada z do centro de massa do cone é calculada pela fórmula:

z - C o n e = l 4 = 500 4 = 125   m m

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos repetir o passo anterior para o furo.

O furo tem um formato de cilindro e seu volume é:

V F u r o = π r 2 h

Pela figura temos que r = 50   m m , ou seja:

V F u r o = π 50 2 h = 2500 π h   m m 3

E seu centro de massa é:

z - F u r o = h 2

Show?

Passo 4

Agora vamos juntar tudo isso na fórmula do passo 1:

z - = ∑ z - ' V ∑ V = z - C o n e · V C o n e - z - F u r o · V F u r o V C o n e - V F u r o

Lembrando que o volume do furo é negativo!

Substituindo os valores:

115 = 125 · 375 π · 10 4 - h 2 · 2500 π h 375 π · 10 4 - 2500 π h

46875 π · 10 4 - 1 250 π h 2 = 375 π · 10 4 - 2500 π h 115

46875 π · 10 4 - 1250 π h 2 = 43125 π · 10 4 - 287500 π h

1250 π h 2 - 287500 π h - 3750 π · 10 4 = 0

Simplificando por 10 π ...

125 h 2 - 28750 h - 375 · 10 4 = 0

Calculando as raízes desse polinômio temos:

h 1 = 323   m m

h 2 = - 93   m m

Como o furo não pode ser negativo, temos que:

h = 323   m m

é isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

h = 323   m m

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