Determine a profundidade do furo de de diâmetro feito na base do cone de modo que o centro de massa do sólido resultante esteja localizado em . O material tem densidade de .
Passo 1
Oi, tudo bem? Vamos resolver este exercício.
Nesse problema temos que determinar a profundidade de um furo em um cone de modo que o centro de massa do cone esteja localizado em .
Foi dito que o furo tem de diâmetro e que a densidade do material é de .
Tem ideia de como fazemos isso?
Para resolver esse problema temos que lembrar que a coordenada do centro de massa de um objeto pode ser calculado como:
Sendo que um furo é expresso como um volume negativo.
Bora la!
Passo 2
Nesse caso temos dois volumes... um cone e um furo na base do cone.
Para o cone, temos:
Pela figura do enunciado, temos que , logo:
Já a coordenada do centro de massa do cone é calculada pela fórmula:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos repetir o passo anterior para o furo.
O furo tem um formato de cilindro e seu volume é:
Pela figura temos que , ou seja:
E seu centro de massa é:
Show?
Passo 4
Agora vamos juntar tudo isso na fórmula do passo 1:
Lembrando que o volume do furo é negativo!
Substituindo os valores:
Simplificando por ...
Calculando as raízes desse polinômio temos:
Como o furo não pode ser negativo, temos que:
é isso! O que achou? Responde Aí!