Enunciado

Determine a velocidade máxima na qual o carro com massa m pode passar sobre o ponto mais alto A da estrada em curva vertical e ainda manter o contato com a estrada. Se o carro mantém esta velocidade, qual é a reação normal que a estrada exerce sobre o carro quando ele passa pelo ponto mais baixo B na estrada?

Passo 1

A chave de problemas de cinética está no diagrama de corpo livre. Ao identificarmos todas as forças que o nosso problema está sujeito, conseguiremos visualizar o que há de ser feito mais facilmente.

Relembrando do capítulo de cinemática, vimos que a aceleração centrípeta de um corpo é dada por:

a n = v 2 ρ

Precisamos resolver as equações da cinética em dois pontos distintos. No ponto A, o critério é que o carro ainda consiga manter contato com a estrada. O limite ocorre no momento em que a força normal é nula! Precisamos utilizar esta relação.

Já em relação ao ponto B, basta repetirmos as análises da cinética com o valor descoberto anteriormente.

Passo 2

Vamos começar por esboçar o diagrama de corpo livre do nosso problema. Desta forma, temos:

Tanto no ponto A quanto no ponto B, o carro está sujeito as mesmas forças e com as mesmas inclinações.

Passo 3

Vamos descobrir inicialmente a velocidade máxima que o carro pode passar pelo ponto A. Sabendo que a força normal é zero e ele está sujeito a uma aceleração normal, pois está em uma trajetória curvilínea, temos:

∑ F n = m ⋅ a n = - m v 2 ρ

- P = - m v 2 ρ

m g = m v 2 ρ

v = g ρ

Observem que o valor da aceleração foi colocado para baixo (negativa), na direção do centro da curvatura!

Passo 4

Agora que descobrimos a máxima velocidade permitida pelo carro, precisamos repetir a nossa análise do somatório de forças na direção normal a trajetória. Só que agora temos uma pequena diferença: é no ponto B! Portanto, temos:

∑ F n = m ⋅ a n = m v 2 ρ

N - P = m v 2 ρ

N = m g + m g ρ ρ

N = 2 m g

Observem que a aceleração está positiva pois ela aponta para cima, na direção positiva do eixo n .

Resposta

v = g ρ

N = 2 m g

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