Enunciado

O disco de 25 kg gira com uma taxa angular constante ω 1 = 50   r a d / s em torno de seu eixo. Simultaneamente, o eixo gira com uma taxa angular constante ω 2 = 10   r a d / s . Determine as componentes x,y, z do momento desenvolvido no braço A no instante mostrado. Despreze o peso do braço AB.

Passo 1

O sistema descrito acima terá velocidade angular :

Ω = ω 2 = 10 i   r a d / s

Como o disco é simétrico em relação ao seu eixo de rotação, os eixos x, ye z permanecerão como os eixos principais da inércia. De forma que:

I x = I y = 1 4 25 0,225 2 = 0,3164 k g .   m 2

I z = 1 2 25 0,225 2 = 0,6328   k g .   m 2

Passo 2

A velocidade angular do disco é ω = ω s + ω p = 10 i   +   50 k r a d / s   , de modo que:

ω x = 10   r a d / s

ω y = 0

ω z = 50   r a d / s

Como as direções de ω 1 e ω 2 não mudam em relação aos eixos xyz e suas magnitudes são constantes, ω ˙ x y z = 0   .Assim,

ω ˙ x = ω ˙ y = ω ˙ z = 0

Passo 3

De acordo com o diagrama de corpo livre descrito, pode-se inferir as seguintes equações de movimento:

∑ M x = I x ω ˙ x - I y Ω z ω y + I z Ω y ω z  

M x - A z 0,6 = 0 (1)

∑ M y = I y ω ˙ y - I z Ω x ω z + I x Ω z ω x

M Y = 0 - 0,6328 10 50 + 0

M Y = - 316,4   N , m

∑ M Z = I z ω ˙ z - I x Ω y ω x + I y Ω x ω y

M Z = 0

Passo 4

A aceleração do centro de massa do disco será:

a G = ω ˙ 2 × r G - ω 2 r G = 0 - 10 2 0,6 j = 60 j m / s 2

Assim :

∑ F Z = m ( a G ) Z

A z - 25 9,81 = 0

A z = 245,25   N

Portanto, substituindo o valor de A z em (1), o momento em X será:

M x - A z 0,6 = 0

M x = 147,15   N . m

Resposta

De acordo com os passos 1,2,3 e 4 as componentes x,y, z do momento desenvolvido no braço A no instante mostrado serão respectivamente:

M x = 147,15   N . m

M Y = - 316,4   N , m

M Z = 0

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