Enunciado

O carro B está se deslocando ao longo da estrada curva com uma velocidade escalar de 15 m/s enquanto reduz sua velocidade escalar 2 m/s2. Nesse mesmo instante, o carro C está se deslocando ao longo da estrada reta com uma velocidade escalar de 30 m/s desacelerando na razão de 3 m/s2. Determine a velocidade e aceleração do carro B em relação ao carro C.

Passo 1

Primeiramente as velocidades dos carros B e C devem ser exepressas vetorialente de acordo com as suas coordenadas cartesianas, de forma que :

v - A = 15 cos ⁡ 60 ° i -   15 sin ⁡ 60 ° j m s =   7,5 i - 12,99 j   m / s (1)

v - c = - 30 j   m / s (2)

Passo 2

Sabendo que a equação da velocidade relativa do carro B em relação a C é dada por :

v - B = v - C + v - B / C (3)

Deve-se substituir (1) e (2) em (3), de forma que:

7,5 i - 12,99 j = - 30 j + v - B / C

v - B / C = 7,5 i + 17,01   j   m / s (4)

Passo 3

De acordo com os passo 2 a velocidade relativa vB/C pode ser expressa vetorialmente em (4). Ou ainda pode ser expressa de acordo com a sua magnitude e direção, de forma que :

v B / C =   ( 7,5 ) 2 + ( 17,01 ) 2 = 18,6   m / s

θ V = tan - 1 ⁡ 12,32 17,68 = 66,2 °

Passo 4

As acelerações dos carros B e C devem ser exepressas vetorialente de acordo com as suas coordenadas cartesianas. No entanto, nota-se que por o carro B realizar um movimento curvilineio, sua aceleração apresentará uma componente normal, de módulo a B n = v B 2 ρ = 15 2 100 = 2,25 m/s2, e uma componente tangencial, de forma que:

a - B n = 2,25 cos ⁡ 30 ° i +   2,25 sin ⁡ 30 ° j m / s 2 =   1,9486 i + 1,125 j   m / s 2 (5)

a - B t = - 2 cos ⁡ 60 ° i +   2 sin ⁡ 60 ° j m / s 2 =   - 1 i + 1,732 j   m / s 2 (6)

a - C = 3 j   m / s 2   (7)

Passo 5

Sabendo que a equação da aceleração relativa do carro B em relação a C é dada por :

a - B = a - C + a - B / C (8)

Deve-se substituir (5),(6) e (7) em (8), de forma que:

1,9486 i + 1,125 j + - 1 i + 1,732 j = 3 j + a - B / C

a - B / C   = 0,9486 i - 0,1429   j   m / s 2 (9)

Passo 6

De acordo com os passo 5 a aceleração relativa a - B / C   pode ser expressa vetorialmente em (9). Ou ainda pode ser expressa de acordo com a sua magnitude e direção, de forma que :

a B / C   =   ( 0,9486 ) 2 + ( - 0,1429 ) 2 = 0,959   m / s 2

θ a = tan - 1 ⁡ 0,1429 0,9486 = 8,57 °

Resposta

De acordo com os passos 1, 2 e 3 a velocidade relativa do carro B em relação a C será:

v - B / C = 7,5 i + 17,01   j   m / s

Ou ainda:

v B / C = 18,6 m s   ;   ⦨   66,2 °

Já de acordo com os passos 4,5 e 6 a aceleração relativa do carro B em relação a C será:

a - B / C   = 0,9486 i - 0,1429   j   m / s 2

Ou ainda:

a B / C = 0,959 m s 2 ;   ⦪   75,4 °

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No sistema de polias abaixo, a extremidade A do cabo é puxada a 5m/s, determinar a velovidade escalar vb do cilindro B.
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