Enunciado

O dispositivo serve como uma mola de torção compacta. É feito de aço A-36 e composto por um eixo interno maciço C B embutido em um tubo A B e acoplado a esse tubo por um anel rígido em B . Podemos considerar que o anel em A também é rígido e está preso de modo que não pode girar. Se um torque T   =   0,25   k N . m for aplicado ao eixo, determine o ângulo de torção na extremidade C e a tensão de cisalhamento máxima no tubo e eixo.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos analisar essa questão?

O problema pede que determinemos o ângulo de torção na extremidade C e a tensão de cisalhamento máxima no tubo e no eixo. E nos fornece como dados:

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9   P a

c = 12,5   m m = 0,0125   m

c i ( t u b o ) = 18,75   m m = 0,01875   m

c e ( t u b o ) = 25   m m = 0,025   m

L C A = 300   m m = 0,3   m

L B A = 300   m m =   0,2   m

O eixo maciço B C e o tubo A B estão submetidos ao mesmo torque T C , logo o ângulo de torção na extremidade C será a soma do ângulo do segmento B A e do segmento B C :

ϕ C = ϕ B A + ϕ B C

Determinaremos a tensão de cisalhamento máxima no eixo maciço e no tubo, através da equação:

τ m á x = T c 0 J

Passo 2

Vamos agora calcular os valores dos torques. Para isso, vamos ilustrar o problema para ter melhor ideia do que queremos.

Como podemos observar, o torque T B C é igual ao torque que corre em C .

T B C = T C = 0,25   k N ⋅ m = 250 N ⋅ m

Fica mais fácil imaginar que ao aplicar um torque no tubo A B , o eixo maciço B C também vai sofrer o efeito desse torque, tendo uma torção provocada no mesmo sentido. Portanto:

T B A = T C = 0,25 k N ⋅ m = 250   N ⋅ m

Passo 3

Com os torques determinados nos resta apenas encontrar os momentos polares de inércia e aplicar na fómula do ângulo de torção:

A região B C é uma haste maciça de diâmetro igual a 12,5   m m . Logo,

J B C = π 2 c 4 = π 2 0,0125 4 = 3,8349 ⋅ 10 - 8   m 4

A região B A é um tubo de diâmetro externo igual a   25 m m e raio interno igual a 18,75   m m . Então:

J B A = π 2 c 2 4 - c 1 4 = π 2 0,025 4 - 0,01875 4 = 4,194 ⋅ 10 - 7   m 4

Passo 4

O ângulo ϕ C é dado por:

ϕ C = ϕ B A + ϕ B C

Sendo que:

ϕ B A = T B A ⋅ L B A J B A ⋅ G = 250 ⋅ 0,3   4,194 ⋅ 10 - 7   ⋅ 75 ⋅ 10 9 = 0,002384   r a d

ϕ B C = T B C ⋅ L B C J B C ⋅ G = 250 ⋅ 0,6   3,8349 ⋅ 10 - 8 ⋅ 75 ⋅ 10 9 = 0,05215   r a d

Logo:

ϕ C = 0,05215 + 0,002384

Convertendo para radianos:

ϕ C = 0,05453   r a d ⋅ 180 π

ϕ C = = 3,125 °

Passo 5

A tensão é dada pela proximidade da prova multiplicada pelo tanto de dias vendo séries. Ou então por:

τ m á x = T c J

Já que queremos achar a tensão máxima devemos usar o raio externo no calculo referente a seção tubular. Calculando para cada seção, temos:

τ B A = T B A ⋅ c B A J B C = 250 ⋅ 0,025 4,194 ⋅ 10 - 7

τ B A = 14,9   M P a

τ B C = T B C ⋅ c B C J B C = 250 ⋅ 0,0125 3,8349 ⋅ 10 - 8

τ B C = 81,49   M P a

Resposta

ϕ C = 3,125 °

τ B A = 14,9   M P a

τ B C = 81,4 M P a

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