Enunciado

Dois blocos de massas diferentes são conectados por um fio sobre uma polia lisa (Figura 2.B). Se o coeficiente de atrito cinético é µ k , qual é o ângulo θ do plano inclinado que permite o movimento das massas em velocidade constante?

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos fazer a decomposição das forças atuantes no nosso bloco, como podemos ver na imagem abaixo:

Aplicando a segunda lei de Newton, temos:

m g - f = m a

N = 2 m g cos ⁡ ( θ )

f - 2 µ k m g cos ⁡ θ - 2 m g sin ⁡ θ = m a

Substituindo por f = m g - m a , nós temos:

m g - 2 µ k m g cos ⁡ θ - 2 m g sin ⁡ θ = 2 m a

Se a inclinação permite que a massa se mova com velocidade constante, então a força resultante que atua sobre a massa deve ser zero, o que pode ocorrer em um ângulo de inclinação crítico.

Assim a gente tem que:

1 - 2 µ k cos ⁡ θ c - 2 sin ⁡ θ c = 0

1 2 = µ k 1 - sin 2 ⁡ θ c + sin ⁡ θ c

Reorganizando os termos:

1 2 sin ⁡ θ c µ k = 1 - sin 2 ⁡ θ c

Vamos elevar ambos os lados ao quadrado, obtendo:

1 4 + sin 2 ⁡ θ c - sin ⁡ θ c = 1 - sin 2 ⁡ θ µ k 2  

Reorganizando novamente:

sin 2 ⁡ θ c 1 + µ k 2 + sin ⁡ θ c + 1 4 - µ k 2   = 0

Por fim, resolvendo para sin ⁡ ( θ c ) , nós temos:

sin ⁡ ( θ c ) = 1 ± µ k 3 + 4 µ k 2 2 1 + µ k 2

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

sin ⁡ ( θ c ) = 1 ± µ k 3 + 4 µ k 2 2 1 + µ k 2

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