Enunciado

Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ x = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN.

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples (sempre que for possível precisamos fazer seções retangulares) e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 A 1 + A 2 + A 3

Assim temos que:

A 1 = 10 × 50 = 500   m m 2

A 2 = 10 × 50 = 500   m m 2

A 3 = 10 × 50 = 500   m m 2

y 1 = 35   m m

y 2 = 5   m m

y 3 = 35 m m

y - = 500 × 35 + 500 × 5 + 500 × 35 500 + 500 + 500 = 25   m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + I 3 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 + A 3 d 3 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   , I 2   e   I 3 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1 ,   d 2   e   d 3 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 1 = I 3 = b h 3 12 = 10 × 50 3 12 = 104167   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 50 × 10 3 12 = 4167   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 104167 + 4167 + 104167 + ( 500 × 10 2 + 500 × 20 2 + 500 × 10 2 )

I = 512501   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

para o momento fletor é bem tranquilo, como as cargas são simétricas, basta somarmos as duas e dividir por dois que teremos as reações de apoio, e tendo a reação de apoio conseguimos determinar o momento atuante no centro da viga, fazendo isso, teremos que:

M + 10 × 125 - 10 × 275 = 0

M = 1500   k N m m

Ou seja, o nosso momento traciona as fibras da parte de baixo, ou seja, o momento é positivo. Se traciona a parte de baixo sabemos que a tensão é positiva, sendo assim teremos que:

y - = - 25   m m

I = 512501   m m 4

M = 1500   k N m m

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

σ t r a ç ã o = - 1500   k N m m × - 25 [ m m ] 512501   [ m m 4 ]

σ t r a ç ã o = 0,0732 k N m m 2 = 73,2   M P a

E analisando agora a compressão teremos que:

y + = 35 m m

I = 512501   m m 4

M = 1500   k N m m

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

σ c o m p r e s s ã o = - 1500   k N m m × 3 5 [ m m ] 512501   [ m m 4 ]

σ c o m p r e s s ã o = - 0,1024 k N m m 2 = - 102,4   M P a

Resposta

σ t r a ç ã o = 73,2   M P a

σ c o m p r e s s ã o = - 102,4   M P a

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