Enunciado

Sabendo que, para a viga mostrada na figura a tensão admissível é de 82,7 Mpa em tração e de 110,3 Mpa em compressão, determine o maior momento fletor M que lhe pode ser aplicado.

Passo 1

Nosso objetivo é determinar os máximos momentos fletores, e a fórmula que relaciona a tensão com o momento é dado por:

σ a d m = - M y I

Como não temos a LN da nossa barra, precisamos determinar ela. Isso é de suma importância para podermos fazer toda a conta, por isso precisamos seguir um passo a passo para determinar a LN. Sabemos que a conversão de polegadas para mm é dado por.

1 p o l e g a d a = 25,4 m m

Para isso precisamos dividir a nossa seção em seções mais simples (sempre que for possível precisamos fazer seções retangulares) e determinar a distância do centroide de cada seção até a base da peça total, assim, temos que:

Agora para termos a linha neutra basta fazermos o seguinte:

y - = A 1 y 1 + A 2 y 2 + A 3 y 3 + A 4 y 4 A 1 + A 2 + A 3 + A 4

Assim temos que:

A 1 = 38,1 × 12,7 = 483,87   m m 2

A 2 = 114,3 × 12,7 = 1451,61   m m 2

A 3 = 38,1 × 12,7 = 483,87   m m 2

A 4 = 38,1 × 12,7 = 483,87   m m 2

y 1 = 31,75   m m

y 2 = 6,35   m m

y 3 = 31,75 m m

y 4 = 31,75 m m

y - = 483,87 × 31,75 + 1451,61 × 6,35 + 483,87 × 31,75 + 483,87 × 31,75 483,87 + 1451,61 + 483,87 + 483,87 = 19,05   m m

Assim a nossa LN é:

Passo 2

Agora que temos a LN, podemos determinar o momento de inércia, e o momento de inércia vai ser dado pela seguinte equação:

I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + ( A 1 d 1 2 + A 2 d 2 2 + A 3 d 3 2 + A 4 d 4 2 )

Em que as áreas já definimos no passo anterior, e os valores de I 1   , I 2 , I 3   e   I 4 são os momentos de inércia de cada uma das seções mais simples. E d 1 ,   d 2 ,   d 3   e   d 4 são as distâncias do centroide de cada uma das peças mais simples até a LN, assim as medidas da nossa seção são dadas abaixo.

Além disso temos que:

I 1 = I 3 = I 4 = b h 3 12 = 12,7 × 38,1 3 12 = 58532,5   m m 4

I 2 = b h 3 12 = 114,3 × 12,7 3 12 = 19511   m m 4

Assim a inercia da nossa seção vai ser dada por:

I = 3 × 58532,5 + 19511 + ( 3 × 483,87 × 12,7 2 + 1451,61 × 12,7 2 )

I = 663369   m m 4

Agora só precisamos determinar os valores de y, sendo assim teremos que ver o próximo passo.

Passo 3

O valor de y é a distância da LN para as extremidades, assim teremos que:

  • y - positivo e negativo

Como nosso objetivo é determinar o momento fletor, vamos precisar analisar cada situação, assim começando pela tração, vamos ter que:

y - = - 19,05   m m

I = 663369 m m 4

σ t r a ç ã o = 82,7   M P a = 82,7 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

82,7   N m m 2 = - M × - 19,05 [ m m ] 663369   [ m m 4 ]

M = 2879822   N m m = 2,88   k N m

E analisando agora a compressão teremos que:

y + = 31,75 m m

I = 663369   m m 4

σ c o m p r e s s ã o = - 110,3   M P a = - 110,3 N m m 2

σ x = - M y I

Substituindo, teremos que:

- 110,3 N m m 2 = - M × 31,75 [ m m ] 663369   [ m m 4 ]

M = 2304554   N m m = 2,31   k N m

Como queremos que a estrutura sustente a ação que age nele, devemos escolher o menor momento, que garante a segurança no ponto que ele age, assim como o do que suporta mais momento. Assim teremos que:

M = 2,31   k N m

Resposta

M = 2,31   k N m

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