Enunciado

As duas hastes possuem massa de 8   k g cada. Determine a rigidez k exigida para a mola, de modo que haja equilíbrio quando θ = 60 ° . A mola tem comprimento de 1   m quando não deformada. Investigue a estabilidade do sistema na posição de equilíbrio.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a rigidez k da mola necessária para que o sistema esteja em equilíbrio com θ = 60 ° . Além disso, pede para determinar a estabilidade da estrutura na condição de equilíbrio.

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde as distâncias y 1 e y 2 são:

y 1 = 1,5 2 cos ⁡ θ

y 1 = 0,75 cos ⁡ θ

y 2 = 1,5 cos ⁡ θ + 1,5 2 cos ⁡ θ

y 2 = 2,25 cos ⁡ θ

Como a mola não deformada mede 1   m , sua deformação s é dada por:

s = 2 * 1,5 cos ⁡ θ - 1

s = 3 cos ⁡ θ - 1

E o peso W das hastes:

W = 8 * 9,81

W = 78,48   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso das hastes e a força exercida pela mola, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = W y 1 + W y 2 + 1 2 k s 2

V = 78,48 * 0,75 cos ⁡ θ + 78,48 * 2,25 cos ⁡ θ + 1 2 * k * 3 cos ⁡ θ - 1 2

V = 235,44 cos ⁡ θ + 0,5 k 3 cos ⁡ θ - 1 2

Passo 3

Beleza, nós definimos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 235,44 cos ⁡ θ + 0,5 k 3 cos ⁡ θ - 1 2 = 0

- 235,44 sen ⁡ θ - 9 k sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 k sen ⁡ θ = 0

Como θ = 60 ° :

- 235,44 sen ⁡ 60 ° - 9 k sen ⁡ 60 ° cos ⁡ 60 ° + 3 k sen ⁡ θ = 0

- 203,9 - 3,9 k + 2,6 k = 0

1,3 k = - 203,9

k = 156,9   N / m

Passo 4

Agora que nós determinamos a rigidez da mola para que o sistema esteja em equilíbrio, precisamos determinar se nessa condição ele está estável. Para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 235,44 cos ⁡ θ + 0,5 k 3 cos ⁡ θ - 1 2

d 2 V d θ 2 = d d θ - 235,44 sen ⁡ θ - 9 k sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 3 k sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 235,44 cos ⁡ θ - 9 k cos ⁡ 2 θ + 3 k cos ⁡ θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ = 60 ° e k = 156,9   N / m :

d 2 V d θ 2 = - 235,44 cos ⁡ 60 ° - 9 * 156,9 * cos ⁡ 2 * 60 ° + 3 * 156,9 * cos ⁡ 60 °

d 2 V d θ 2 = 823,68 > 0

Logo, a estrutura está em equilíbrio e está estável.

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

k = 156,9   N / m

E s t a v e l

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Um carro que pesa 75N rola na rampa que faz um ângulo com a hotizontal. Sabendo que k = 5 k N / m e que a mola está indeformada quando x = 0 , determine a distância x para equilíbrio quando β = 30 .
Um carro que pesa 75N rola na rampa que faz um ângulo com a hotizontal. Sabendo que k = 5 k N / m e que a mola está indeformada quando x = 0 , determine a distância x para equilíbrio quando β = 6 0 .
A mola AB, de constante k , está indeformada quando θ = 0 , determine (a) os intervalos de θ para equilíbrio estável e (b) dois valores para equilíbrio tal que P é metade do limite superior encontrado