Enunciado

Duas placas de cobertura, cada uma com 12,7   m m de espessura e 250   m m de largura, são soldadas a uma viga de perfil laminado W 360 × 79 . Sabendo-se que σ a d m = 150   M P a e τ a d m = 90   M P a , determinar a maior força vertical P que pode ser aplicada no ponto D , quando a = 1,8   m e l = 3 m

Passo 1

Fala aí, pessoal!!!

Para resolver esse problema e achar a máxima força P a gente vai ter que calcular o módulo resistente da seção composta.

Depois disso a gente vai calcular o momento fletor no ponto centro da viga e através da seguinte relação vamos conseguir encontrar a nossa tensão:

σ = M W

Passo 2

Vamos achar o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Mas a gente tem que reparar que é uma figura composta, é o perfil W   360 × 79 mais as duas placas de cobertura. Se a gente for lá na tabela de perfis de abas largas vamos encontrar que o momento de inércia desse perfil é:

I = 225 × 10 6   m m 4

I = 225 × 10 - 6   m 3

Além disso vamos precisar também da altura da viga:

d = 354   m m

d = 0,354   m

A gente pegou esses valores para que possamos calcular o módulo resistente da viga com as duas placas soldadas, como essas placas são retangulares podemos calcular o momento de inércia como:

I b a r r a = 1 12 b h 3

Então para cada barra vamos ter:

I b a r r a = 1 12 0,250 0,0127 3

I b a r r a = 4,27 × 10 - 8   m 3

Aplicando o teorema dos eixos paralelos podemos obter o momento de inércia da viga com as coberturas. Lembrando que o teorema dos eixos paralelos diz que:

I = I 0 + A d 2

I = I v i g a + 2 × ( I b a r r a + A d 2 )

Onde a área A é a área de cada barra e a distância d é a distância entre o centro da viga até o centro da barra:

d = 0,354 2 + 0,0127 2 = 0,0 , 179   m

I = 225 × 10 - 6   + 2 × ( 4,27 × 10 - 8 + 0,250 × 0,0127 × 0,179 2 )

I = 4,28 × 10 - 4   m 4

Show! Esse é o momento de inércia da nossa viga composta. Agora para achar o módulo de resistência W basta dividir por c , sendo que c é a distância do centro da viga até a superfície da barra:

c = 0,354 2 + 0,0127 = 0,190   m  

Portanto, vamos ter:

W = I c

W = 4,28 × 10 - 4 0,190  

W = 2,25 × 10 - 3   m 3

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Para isso que tal fazermos um desenho simplificado dessa viga?

Já podemos perceber que a força B x é nula porque é a única força em x . Agora vamos partir para o omatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P + F y = 0

A y + F y = P

Fazendo o somatório dos momentos:

∑ M C = 0

P × 1,8 - F y × 4,8 = 0

F y = 0,375 P   k N

Logo,

A y = P - 0,375 . P = 0,625 . P   k N

Passo 4

Agora para calcular a máxima tensão normal e igualar esse valor ao dado pelo problema σ a d m = 150   M P a , a gente tem que lembrar que essa tensão máxima sempre ocorre no ponto mais superficial da viga, e é calculada como:

σ = M W

Galera, ainda não dá para saber qual será o ponto onde a tensão será máxima então a gente vai ter que calcular para três pontos distintos:

  1. Ponto logo antes de B
  2. Ponto D
  3. Ponto logo após E

Vamos começar pelo primeiro teremos, portanto:

M = V . x

M = 0,625 P × 0,9

M = 0,5625 P   k N . m

Além disso vamos precisar do módulo resitente da viga sem a cabertura, que é dado pela tabela e vale:

W = 1271 × 10 - 6   m 3

Substituindo os valores que achamos:

σ = M W

150 × 10 6 = 0,5625 P × 10 3 1271 × 10 - 6

P = 339   k N

Passo 5

Agora vamos para o ponto 2. Então vamos considerar o módulo resistente com a cobertura:

W = 2,25 × 10 - 3   m 3

E a gente vai ter que calcular o valor do momento fletor em D :

M = V . x - P a

M = 0,625 P - P . 2,4 - ( P ) ( 1,8 )

M = 2,7 P   k N . m

Agora vamos substituir esse valor na nossa equação.

σ = M W

150 × 10 6 = 2,7 P × 10 3 2,25 × 10 - 3

P = 125   k N

Passo 6

Finalmente vamos fazer a mesma coisa mas considerando o ponto 3. Então vamos considerar o módulo resistente sem a cobertura novamente:

W = 1271 × 10 - 6   m 3

E a gente vai ter que calcular o valor do momento fletor em E :

M = 0,375 P × ( 2,4 - 1,5 )

M = 0,3375 P   k N . m

Agora vamos substituir esse valor na nossa equação.

σ = M W

150 × 10 6 = 0,3375 P × 10 3 1271 × 10 - 6

P = 565   k N

Como temos de pegar o menor valor de P

P = 125   k N

Resposta

P = 125   k N

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