Enunciado

O eixo é composto por duas seções rigidamente acopladas. Se o material for elástico perfeitamente plástico como mostra a figura, determine o maior torque T que pode ser aplicado eixo. Além disso, desenhe a distribuição da tensão de cisalhamento na linha radial para cada seção. Despreze o efeito da concentração de tensão.

Passo 1

Dados da questão: d = 20 m m ,   D = 25 m m ,   γ e = 0,002   r a d ,   τ e = 70   M P a

A questão pede:

  • O maior torque que atua sobre o eixo T
  • Esboço da distribuição de tensão

A gente pode pensar assim: para acharmos o maior torque que pode ser aplicado, vamos analisar o eixo mais fino. Por que? Porque o eixo menos fino consegue resistir a um torque maior, um torque que o mais fino não resistiria, ok?

Bora lá!

Passo 2

Como nosso material é perfeitamente elástico-plástico, o torque máximo dele não ocorre na tensão máxima, a de escoamento.

Podemos continuar aumentando o torque, mesmo depois de atingir essa tensão. Aí nosso elemento entra no regime plástico. E para calcular a tensão plástica máxima sobre um eixo, podemos usar:

T P = 2 π 3 τ e c 3

T P = 2 π 3 τ e d 2 3

Substituíndo os valores:

T P = 2 π 3 ⋅ 70 ⋅ 10 6 ⋅ 0,020 2 3

T P = 146,61   N m

Passo 3

A tensão sobre o diâmetro menor já é conhecida (é a máxima). Mas precisaremos calcular a tensão sobre o diâmetro maior. Essas tensões vão ser diferentes porque eles tem áreas diferentes.

Para isso precisaremos do momento de inércia

J = π 32 D 4 J = π 32 ⋅ 0,025 4 J = 3,83 ⋅ 10 - 8   m 4

Passo 4

Vamos ver se a tensão sobre o diâmetro maior é elástica, usando a fórmula do torque elástico. Aí T vai ser o torque máximo que a gente achou.

τ = T c J τ = T ⋅ D 2 J τ = 146,61 ⋅ 0,025 2 3,83 ⋅ 10 - 8 ⋅ N m ⋅ m m - 4

τ = 4,785 ⋅ 10 7 P a τ = 47,85   M P a

Passo 5

Podemos agora contruir nosso esboço.

Como o eixo mais fino está no limite do regime elástico, a distribuição de tensão nele vai ser totalmente constante ao longo do raio.

Já como o eixo maior está no regime totalmente elástico, a distribuição de tensão nele vai ser linear e crescente com o raio.

Aí ficamos assim:

Obs: o gabarito do livro está com um errinho nessa, tá?

Resposta

T P = 146,61   N m

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