Enunciado

Um eixo maciço de aço ( G = 77   G P a ) de 1,5   m de comprimento, com 22   m m de diâmetro, transmite 18   h p . Determinar a mínima velocidade com a qual o eixo pode girar, sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é de 30   M P a e que o ângulo de torção não deve exceder a 3,5 ° .

Passo 1

A gente tem dois critérios de projeto: a tensão máxima admissível é τ m á x = 30   M P a = 30 ⋅ 10 6   P a e o ângulo de torção deve ser menor que ϕ = 3,5 ° . Queremos a mínima velocidade de rotação que pode haver para essas condições.

Nossos dados são:

- temos um eixo maciço de diâmetro: d = 22   m m , logo o raio é: c = 0,011   m

- G = 77   G P a

- comprimento: L = 1,5   m

- potência: P = 18   h p = 18 ⋅ 746   W = 13   428   W

Vem comigo!

Passo 2

Para um eixo maciço, temos que:

J = π 2 c 4

A gente consegue escrever uma relação entre a tensão máxima, o torque produzido nessa situação e o raio do eixo, pela expressão:

J c = T τ m á x ∴ π 2 c 3 = T τ m á x ∴ T = π 2 c 3 τ m á x

Substituindo nossos dados, achamos o torque máximo para essa tensão:

T 1 = π 2 0,011 3 ⋅ 30 ⋅ 10 6 = 62,72189   N ⋅ m

Achamos o torque que acontece no caso limite do critério da tensão. Mas ainda temos outro critério para analisar.

Passo 3

Precisamos testar o critério que falta: o ângulo de torção máximo.

ϕ = 3,5 ° = 3,5 ⋅ π 180   r a d = 0,06108   r a d

Para o torque limite para esse critério, vamos usar a relação:

ϕ = T L J G = T L π 2 c 4 G ∴ T = ϕ π c 4 G 2 L

Substituindo nossos dados:

T 2 = ϕ π c 4 G 2 L = 0,06108 ⋅ π ⋅ 0,011 4 ⋅ 77 ⋅ 10 9 2 ⋅ 1,5

T 2 = 72,10894   N ⋅ m

Passo 4

Agora que a gente tem o torque limite máximo para cada um dos critérios, precisamos escolher o menor entre eles, já que queremos atender os dois critérios ao mesmo tempo.

A gente vê que o nosso torque máximo vai ser:

T = 62,72189   N ⋅ m

Vamos achar a frequência para esse torque, para a transmitir a potência que a gente quer, pela relação:

P = 2 T π f ∴ f = P 2 T π

Vemos que como f e T são inversamente proporcionais, ao usarmos o torque máximo possível, chegamos na frequência mínima.

Substituindo os dados do nosso problema:

f = 13   428 2 ⋅ 62,72189 ⋅ π = 34,07315   H z

Passo 5

Vamos achar a velocidade de rotação a partir dessa frequência, pela relação:

1   H z = 60   r p m

Logo,

34,07215   H z = 2   044,329   r p m

Assim, nossa velocidade é:

w = 2   045   r p m

Ufa! Conseguimos!

Resposta

w = 2   045   r p m

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