Enunciado

O eixo é submetido a um torque T que produz escoamento na superfície do segmento de maior diâmetro. Determine o raio do núcleo elástico produzido no segmento de menor diâmetro. Despreze a concentração de tensão no filete.

Passo 1

Dados da questão: D = 60 m m ,   d = 55 m m

O objetivo é calcular o raio do núcleo elástico ρ e do segmento mais fino.

A questão afirma que o diâmetro menor sofre escoamento, mas nada fala sobre o segmento mais grosso.

Então faremos a seguinte consideração: O diâmetro maior NÃO sofre escoamento, mas está submetido ao torque elástico máximo, que gera uma tensão igual a tensão de escoamento. Como o diâmetro maior é mais resistente, essa condição garante que o escoamento do segmento mais fino e nos permitirá calcular o torque

Passo 2

Vamos logo calcular as propriedades geométricas da figura:

Eixo maior:

J D = π D 4 32

c D = D 2

Eixo menor:

J d = π d 4 32

c d = d 2

Passo 3

Com base na situação que propomos, a tensão sobre o eixo maior é igual a tensão de escoamento.

τ e = T c D J

T = τ e J c D

T = π D 4 32 D 2 τ e

Chegamos na seguinte relação para o torque:

T = π D 3 16 ⋅ τ e

Passo 4

Agora, olhando para o segmento mais fino teremos uma torção elástico-plástica. Isso quer dizer que na extremidade da zona plástica a tensão é igual ao escoamento. E como já temos uma realção para o torque, podemos aplicar a Equação 5.26

T = π τ e 6 ( 4 c d 3 - ρ e 3 )

ρ e 3 = 4 c d 3 - 6 T π τ e

ρ e = 4 c d 3 - 6 T π τ e 3

ρ e = 4 ⋅ d 2 3 - 6 ⋅ π D 3 16 ⋅ τ e π τ e 3

ρ e = d 3 2 - 3 ⋅ D 3 8 3

Agora basta substituir os valores:

ρ e = 4 ⋅ 27,5 3 - 3 ⋅ 60 3 8 3

ρ e = 12,98   m m

Resposta

ρ e = 12,98   m m

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