Enunciado

O eixo tem raio c e está sujeito a um torque por unidade de comprimento t 0 distribuído uniformemente por todo o comprimento L do eixo. Se ele estiver preso em sua extremidade distante A , determine o ângulo de torção ϕ na extremidade B . O módulo de cisalhamento é G .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos analisar essa questão?

O passo que julgo mais difícil é determinar qual é o torque que produz essa torção. Para isso faremos um corte no eixo:

Como o torque é uniformemente distribuído por uma unidade de comprimento x podemos analisar que o torque produzido é igual à carga de torque t 0   multiplicada pelo comprimento x .

T ( x ) = t 0 x

Passo 2

Agora com o torque determinado, iremos utilizar a definição de ângulo de deformação descrito pela equação:

ϕ = ∫ 0 L T ( x ) ⋅ d x J ( x ) ⋅ G

Como não ocorre a variação de diâmetro no eixo e o seu material é homogêneo podemos tirar as constantes J ( x ) e G   da equação, o que resulta na equação:

ϕ = 1 J x ⋅ G ∫ 0 L T ( x ) ⋅ d x

ϕ = 1 J x ⋅ G ∫ 0 L t 0 x ⋅ d x

A carga de toque t 0 é uma constante também, com isso nos resta apenas calcular a integral de x :

ϕ = t 0 J x ⋅ G ⋅ ∫ 0 L x ⋅ d x

ϕ = t 0 J x ⋅ G ⋅ ∫ 0 L x ⋅ d x = t 0 J x ⋅ G ⋅ x 2 2 0 L

ϕ = t 0 ⋅ L 2 J x ⋅ G ⋅ 2

Como a secção é circular e maciça, temos que;

J ( x ) = π 2 ⋅ c 4

Substituindo na equação:

ϕ = t 0 ⋅ L 2 π 2 ⋅ c 4 ⋅ G ⋅ 2 = t 0 ⋅ L 2 π ⋅ c 4 ⋅ G

Resposta

ϕ = t 0 ⋅ L 2 π ⋅ c 4 ⋅ G

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