Enunciado

A engrenagem A de 950 g é restrita a rolar na engrenagem fixa B, mas é livre para girar em torno do eixo AD. O eixo AD, de comprimento 400 mm e massa desprezível, é conectado por uma manilha ao eixo vertical DE, que gira conforme mostrado com uma velocidade angular constante ω1. Supondo que a engrenagem A pode ser aproximada por um disco fino de raio de 80 mm, determine o maior valor permitido de ω1 se a engrenagem A não perder contato com a engrenagem B.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o maior valor permitido de ω1 se a engrenagem A não perder contato com a engrenagem B. Então trazemos os dados :D

β = 30 ∘ L = 400 m m = 0.4 m r = 80 m m = 0.08 m

Escola os eixos principais x,y,z como mostrado

Cinemática

ω 1 = a 1 s i n ⁡ β i + ω 1 c o s ⁡ β j ω 2 = ω 2 j

ω = ω 1 + ω 2 = ω 1 s i n ⁡ β i + ω 1 c o s ⁡ β + ω 2 j

ω x = ω 1 s i n ⁡ β ω y = ω 1 c o s ⁡ β + ω 2 v G = ω 1 × r G / D = ω 1 j × r G / D = - ω 1 L s i n ⁡ β k

a G = ω 1 × v G = ω 1 2 L s i n ⁡ β ←

v C = v G + ω × r C / G

0 = - ω 1 L s i n ⁡ β k + ω 2 i + ω y j × ( - r i ) = - ω 1 L s i n ⁡ β k + ω y r k

ω y = ω 1 L r s i n ⁡ β

Passo 2

Momento angular

H G = I - x ω x i + I → y ω y j

Deixe o quadro de referência Dxyz rodar com velocidade angular Ω = ω 1

H ˙ G = H ˙ G G x y z + Ω × H G

= 0 + ω 1 s i n ⁡ β i + ω 1 c o s ⁡ β j × I - x ω x i + I - y ω y j = I - y ω y ω 1 s i n ⁡ β - I → x ω x ω 1 c o s ⁡ β k = 1 2 m r 2 ω y s i n ⁡ β - 1 4 m r 2 ω x c o s ⁡ β ω 1 k

Passo 3

Momentos sobre D

M D = F d k - m g L s i n ⁡ β k

Em que d = L 2 + r 2

M D e f f = H ˙ G + r G / D × m a G = H ˙ G + m ω 1 2 L 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β k

Equacionando M D = M D e f f e colocando componente z

F C d - m g L s i n ⁡ β = 1 2 m r 2 L r s i n 2 ⁡ β - 1 4 m r 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β α 2 + m ω 1 2 L 2 s i n ⁡ β c o s ⁡ β = m ω 1 2 s i n ⁡ β 1 2 r L s i n ⁡ β - 1 4 r 2 c o s ⁡ β - L 2 c o s ⁡ β

Resolvendo para Fc

F C = m s i n ⁡ β d g L - ω 1 2 L 2 c o s ⁡ β + 1 4 r 2 c o s ⁡ β ∼ 1 2 μ s i n ⁡ β

Dado adicional

m = 950 g = 0.95 k g , ω 1 = 4 r a d / s d = ( 0.4 ) 2 + ( 0.08 ) 2 = 0.40792 m

F C = ( 0.95 ) s i n ⁡ 30 ∘ 0.40792 ( 9.81 ) ( 0.4 ) - ( 4 ) 2 ( 0.4 ) 2 c o s ⁡ 30 ∘ + 1 4 ( 0.08 ) 2 c o s ⁡ 30 ∘ - 1 2 ( 0.4 ) ( 0.08 ) s i n ⁡ 30 ∘ = 2.11 N

α = β - t a n - 1 ⁡ r L = 30 ∘ - t a n - 1 ⁡ 4 20 α = 18.7 ∘

2.11 N           18.7 ∘

Resposta

2.11 N         18.7 ∘

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se o cubo de alumínio do Problema fosse substituído por um cubo do mesmo tamanho, feito de seis placas de madeira compensada de massa de 10 kg cada um, quanto tempo levaria para fazer uma volta comple
Duas placas circulares, cada uma com massa 4 kg, são rigidamente conectadas pela barra AB de massa desprezível e suspensas pelo ponto A como mostra a figura. Sabendo que um impulso F∆ t = - 2,4N ∙ s k
Dois braços em formato L, cada qual com massa de 2 kg, são soldadosaos terços médios do eixo AB de 600 mm. Sabendo que o eixo ABgira à taxa constante de 240 rpm, determine (a) a quantidade demovimento
Determine a quantidade de movimento angular do eixo do em relação (a) ao ponto A, (b) ao ponto B.
Duas placas circulares, cada uma com massa 4 kg, são rigidamente conectadas pela barra AB de massa desprezível e suspensas pelo ponto A como mostra a figura. Sabendo que um impulso F∆ t = - 2,4N ∙ s k