Enunciado

A engrenagem está submetida às duas forças caudadas pelo contato com outras engrenagens. Determine a resultante das duas forças e expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Fala ai galerinha do RespondeAi, tudo beleza?

O exercício pede pra gente expressar a força resultante como um vetor cartesiano, pra isso vamos primeiro decompor as forças F 1 e F 2 e somar suas componentes. Bora lá!

A F 1 está no plano y z então teremos duas componentes e encontraremos pela relação de catetos e hipotenusas do triângulo dado, tal que:

F 1 y = F 1   7 25

F 1 y = 250   7 25

F 1 y = 70   N

E no eixo z :

F 1 z = F 1 24 25

F 1 z = 250   24 25

F 1 z = 240   N

Sendo assim, o vetor cartesiano de F 1 fica:

F 1 = 70 j ^ - 240 k ^ N

Nossa direção k é negativa de acordo com o sentido negativo da força em z .

Passo 2

Já para nossa força F 2 são dados dois ângulos de direção coordenados, vamos encontrar o terceiro pela relação:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Assim:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ 135 ° + cos 2 ⁡ 60 ° = 1

cos 2 ⁡ α = 1 4

cos ⁡ α = ± 1 2

Logo, como a força F 2 está no sentido positivo do eixo x , teremos cos ⁡ α = 1 2 , de modo que:

F 2 = F 2 cos ⁡ α i ^ + F 2 cos ⁡ β j ^ + F 2 cos ⁡ γ k ^

F 2 = 900 1 2 i ^ + 900 cos ⁡ 135 ° j ^ + 900 cos ⁡ 60 ° k ^

F 2 = 450 i ^ - 636 j ^ + 450 k ^   N

Passo 3

Agora podemos somar as forças e suas componentes pra poder encontrar a resultante F R , tal que:

F R = F 1 + F 2

F R = 70 j ^ - 240 k ^ + 450 i ^ - 636 j ^ + 450 k ^

F R = 0 + 450 i ^ + 70 - 636 j ^ + - 240 + 450 k ^

Portanto:

F R = 450 i ^ - 56 6 j ^ + 21 0 k ^   N

Resposta

F R = 450 i ^ - 566 j ^ + 210 k ^   N

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