Enunciado

As engrenagens A e B de massa 10 kg e 50 kg têm raios de giração em relação a seus centros de massa respectivos k A = 80   m m e k B = 150   m m . Se a engrenagem A é submetida ao momento de binário M = 10   N . m , determine a velocidade angular da engrenagem B 5 s após ela partir do repouso.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando os momentos de inércia das engrenagens A e B:

I A = m k A 2 = 10 0,08 2 → I A = 0,064   k g   . m 2

I B = m k B 2 = 5 0 0,15 2 → I A = 1,125   k g   . m 2

E agora encontraremos a relação entre as velocidades angulares das engrenagens:

ω A = r B r A ω B = 0,2 0,1 ω B

ω A = 2 ω B

Passo 2

Agora iremos aplicar o princípio do impulso e quantidade de movimento angular para a engrenagem A com o auxílio do esquema a seguir:

↺ +   I A ω A 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 M A d t = I A ω A 2

0 + 10 ( 5 ) - ∫ 0 5 s F 0,1 d t = 0,064 [ 2 ω B 2 ]

∫ 0 5 s F d t = 500 - 1,28 ω B 2

Essa será nossa equação 1.

Passo 3

Agora iremos aplicar o princípio do impulso e da quantidade de movimento angular para a engrenagem B com o auxílio do esquema a seguir:

↺ +   I B ω B 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 M B d t = I B ω B 2

0 + ∫ 0 5 s F 0,2 d t = 1,125 ω B 2

∫ 0 5 s F d t = 5,625 ω B 2

Agora iremos igualar essa expressão à nossa equação 1 para obter o valor da velocidade angular no instante final:

500 - 1,28 ω B 2 = 5,625 ω B 2

ω B 2 = 72,4   r a d / s

Resposta

ω B 2 = 72,4   r a d / s

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