Enunciado

Uma esfera homogênea de massa e raio a é soldada a uma haste AB de massa desprezível, que é mantida por um suporte de esfera e encaixe em A. A esfera é liberada na posição, β = 0 com uma taxa de precessão ϕ 0 = 17 g / 11 a e sem giro ou nutação. Determine o maior valor de, β no movimento seguinte

Passo 1

Conservação do momento angular sobre os eixos Z e z.

Como as únicas forças externas são o peso da esfera e a reação em A, um raciocínio semelhante ao usado no Problema 1 8.109 mostra que o momento angular é conservado em torno dos eixos Z e z. Escolhendo os eixos principais A.xyz mostrados (com y horizontal e apontando para o papel), temos

ω = - ϕ ˙ c o s ⁡ β i + β ˙ j + ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) k

Passo 2

Os momentos de inércia são

  1. I z = 2 5 m a 2 I x = 1 y = 2 5 m a 2 + m ( 2 a ) 2 = 22 5 m a 2

Momento angular sobre A

H A = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k H A = - 22 5 m a 2 ϕ ˙ c o s ⁡ β i + 22 5 m a 2 β ˙ j + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) k

Escrevemos H z =  constant e ,  ou  H A ⋅ K =  constant e

Uma vez que i ⋅ K = - c o s ⁡ β

j ⋅ K = 0 , k ⋅ K = - s i n ⁡ β

H 0 ⋅ K = - 22 5 m a 2 ϕ ˙ c o s ⁡ β ( - c o s ⁡ β ) + 2 5 m a 2 ( ψ - ϕ s i n ⁡ β ) ( - s i n ⁡ β ) =  constant e

Com a condição inicial ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 , ψ ˙ = β ˙ = 0 , β = 0 encontramos que a constante é 22 5 m a 2 ϕ ˙ 0 . Então

11 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ β - ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 (1)

Escrevemos H z =  constant e   :

H z = 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) =  constan t

E da condição inicial, encontramos que a constante é zero. Então

ψ - ϕ ˙ s i n ⁡ β = 0 (2)

Passo 3

Conservação de energia

T = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2

T = 1 2 22 5 m a 2 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 22 5 m a 2 β ˙ 2 + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) 2

E selecionando os dados em β = 0

V = - 2 m g a s i n ⁡ β

T + V =  constant e :  1 2 22 5 m a 2 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 22 5 m a 2 β ˙ 2 + 2 5 m a 2 ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) 2 - 2 m g a s i n ⁡ β =  constant e

Da condição inicial ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 , ψ ˙ = β ˙ = 0 , β = 0 , nós encontramos que a constante é 11 5 m a 2 ϕ ˙ 0 2 . Então

11 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 11 β ˙ 2 + ( ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β ) 2 - 10 g a s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 2 (3)

Substituindo por ψ ˙ - ϕ ˙ s i n ⁡ β da eq (2) em eq (1) e (3)

Eq(1) 11 ϕ ˙ c o s 2 ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 (1’)

Eq(3) 11 ϕ ˙ 2 c o s 2 ⁡ β + 11 β ˙ 2 - 10 g a s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 2 (3’)

Resolvendo 1 '  para  ϕ ˙ ϕ ˙ = ϕ ˙ 0 s e c 2 ⁡ β (4)

Substituindo ϕ ˙ ´para eq (4) em (3’)

11 ϕ ˙ 0 s e c 2 ⁡ θ 2 c o s 2 ⁡ β + 11 β ˙ 2 - 10 g a s i n ⁡ β = 11 ϕ ˙ 0 2 (5)

Para o valor máximo de β temos β ˙ = 0 e eq (5) rende

ϕ ˙ 0 2 1 cos 2 ⁡ θ - 1 = 10 11 g a s i n ⁡ β

ϕ ˙ 0 2 = 10 g c o s 2 ⁡ β 11 a sin ⁡ β (6)

Passo 4

Dados

ϕ ˙ 0 2 = 17 11 8 a substituindo na eq(6)

17 g 11 a = 10 11 g a cos 2 ⁡ β sin ⁡ β                       c o s 2 ⁡ β = 1.7 s i n ⁡ β

Da locação c o s 2 ⁡ β = 1 - s i n 2 ⁡ β , temos

s i n 2 ⁡ β + 1.7 s i n ⁡ β - 1 = 0

Resolvendo a equação quadrática

s i n ⁡ β = - 2.162  (impossível) e   s i n ⁡ β = 0.46244

β m a x = 27.5 ∘

Nota – no problema 18.47 onde a esfera foi impedida de girar, a mesma precessão inicial produziu β max  = 30.0 ∘

Resposta

β m a x = 27.5 ∘

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