Enunciado

A estrutura de um edifício é modelada por quatro colunas idênticas, cada uma com peso w, e um 'piso rígido de peso W, como mostra a Figura 2.68. As colunas são fixadas no solo e têm uma rigidez de flexão El cada. Determine a freqüência natural de vibração horizontal da estrutura do edifício admitindo que a conexão entre o piso e as colunas seja:

(a) articulada como mostra a Figura 2.68(a);

(b) fixa contra rotação como mostra a Figura 2.68(b). inclua o efeito dos pesos próprios das colunas.

Passo 1

(a) pivotadodeixe l=h

k e q = 4 k c o l u n a = 4 36 x l 3 = 12 E I l 3

Deixe m e f f massa efetiva devido ao peso próprio das colunas

Equação do movimento w 9 + m e f f x ¨ + k e q x = 0

Frequência natural da vibração horizontal ω n = 12 E I L 3 W g + m e f f

Passo 2

(b) uma vez que a junta entre a coluna e o piso não permite rotação, cada coluna vai dobrar com tinta de inflexão no meio. Quando a força F é aplicada nas extremidades,

x = 2 F ( 1 / 2 ) 3 3 E I = F l 3 12 E I

K coluna  = 12 E t l 3 ; k e q = 4 k Coluna  = 48 E T l 3

Deixe m e f f 2 massa efetiva de qualquer coluna no topo final

Equação do movimento

W q + m e f 2 x ¨ + k e q x = 0

Frequência natural da vibração horizontal

ω n = 48 E r l 3 W g + m e f f

Passo 3

(a) Massa efetiva (devido ao próprio peso)

Seja m e f f 1 = parte efetiva da massa da viga (m) no final. Assim, a força de inércia vibratória no final é devida a M + m e f f 1

Assuma a forma de deflexão durante a vibração igual à forma de deflexão estática com uma carga de ponta:

y ( x , t ) = Y ( x ) c o s ⁡ ω n t - ϕ  em que  Y ( x ) = F x 2 ( 3 T - x ) 6 E I

Y ( x ) = Y 0 2 l 3 x 2 ( 3 l - x )  em que  Y 0 = F l 3 3 E I = m a x .  tip deflecçã o

y ( x , t ) = Y 0 2 l 3 3 x 2 l - x 3 c o s ⁡ ω n t - ϕ (E1)

máx. energia de deformação do feixe = máx. trabalho pela força F

= 1 2 F Y 0 = 3 2 E I l 3 Y 0 2 (E2)

Máx. energia cinética devido à massa distribuída do feixe

= 1 2 m l ∫ 0 1   y ˙ 2 ( x , t ) m a x d x + 1 2 y ˙ m a x 2 M = 1 2 ω n 2 Y 0 2 33 140 m + 1 2 ω n 2 Y 0 2 M (E3)

∴ m e f f 1 = 33 140 m = 0.2357 m

Passo 4

(b) deixe Y ( x ) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3

Y ( 0 ) = 0 , d Y d x ( 0 ) = 0 , Y ( l ) = Y 0 , d Y d x ( l ) = 0

Isso leva para Y ( x ) = 3 Y 0 l 2 x 2 - 2 Y 0 l 3 x 3

y ( x , t ) = Y 0 3 x 2 l 2 - 2 x 3 l ' c o s ⁡ ω n t - ϕ (E4)

Máxima energia de tensão

= 1 2 E I ∫ 0 l   ∂ 2 y ∂ x 2 2 d x m a x = 6 E I Y 0 2 l 2 (E5)

Máxima energia cinética

1 2 M ω n 2 Y 0 2 + 1 2 m l Y 0 2 ω n 2 ∫ 0 1   3 x 2 l 2 - 2 x 3 l 3 2 d x = 1 2 ω n ² Y 0 2 M + 13 35 m (E6)

∴ m e f f 2 = 13 35 m = 0.3714 m

Resposta

a   0.2357 m

(b) 0.3714 m

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