Enunciado

Expressar o comprimento l de uma tira de madeira compensada do Exemplo 7.7, em termos de h ,   L e h 0 , considerando que a viga deve ser de igual resistência, quando estiver suportando um carregamento uniformemente distribuído.

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Para resolver esse problema a gente vai ter que achar uma o nosso h como uma função de x . Para isso a gente vai ter que utilizar principalmente aquela nossa equação da tensão admissível.

σ a d m = M W

Então a gente tem que basicamente achar o momento fletor dessa viga e o módulo de resistência dela.

vamos fazer isso para duas situações, um ponto qualquer x e um ponto específico x = L / 2 daí é só comparar os dois resultados, então partiu?

Pessoal!! Só prestem bem atenção porque o carregamento é distribuído hein!!!

Passo 2

Primeiro vamos observar a seção desta viga, que é retangular:

Tranquilo né? Mas mesmo sendo tranquilo é muito importante entender que a seção sempre será um retângulo, a única coisa que vai mudar é a altura.

Então vamos calcular o módulo resistente da seção W , que é dado pelo momento de inércia I dividido pela maior distância c que se pode achar entre a linha neutra e a superfície.

W = I c

Como temos um retângulo o momento de inércia é dado por:

I = 1 12 b h 3

e, como a linha neutra se localiza no centro do retângulo, a distância c é igual a:

c = h 2

Substituindo no módulo resistente:

W = b h 3 12 h 2

W = b h 2 6

Show de bola!

Passo 3

Agora vamos calcular o momento fletor máximo que esta viga suporta. Como o problema nos forneceu uma equação para o carregamento vamos utilizar esssa equação para achar o momento fletor.

Se a distribuição é uniforme então:

w x = w 0

Mas como a gente faz isso? Basta integrar duas vezes da primeira a gente encontra a força cortante e da segundo o momento fletor:

V x = - ∫ w x   d x

Esse sinal negativo é da fórmula hein! Não pode esquecer!

V x = - ∫ w 0   d x

Resolvendo a integral ficamos com:

V x = - w 0 x

Agora é só integrar novamente e vamos achar o momento fletor:

M x = ∫ V x   d x

Repare que agora não existe o sinal negativo!

M x = ∫ - w 0 x   d x

M x = - w 0 x 2 2

Passo 4

Estamos quase no fim! UHULLLLL

Agora chegamos no ponto mais importante desta questão que é aplicar o momento fletor M em conjunto com o nosso módulo resistente W e comparar com a tensão admissível σ a d m da seguinte forma:

σ a d m = M W

Lembrando que:

W = b h 2 6

e

M = w 0 x 2 2

obs: Precisamos apenas do módulo =D

Vamos substituir os valores que calculamos:

σ a d m = w 0 x 2 2 b h 2 6

Simplificando:

σ a d m = 3 w 0 b h 2 x 2

Essa valor que achamos é para qualquer ponto x da nossa viga, logo, deve valer também para x = L 2 , porque L 2 ? Porque é onde o momento fletor máximo se localiza! Assim, ficará da seguinte forma:

W = b h 0 2 6

M x = L 2 = w 0 L 2 2 2

M = w 0 L 2 8

Substituindo em..

σ a d m = M W

Vamos obter:

σ a d m = w 0 L 2 8 b h 0 2 6

Simplificando:

σ a d m = 3 w 0 L 2 4 b h 0 2

Passo 5

Viram que temos duas equações com σ a d m ? Então agora é só igualar as duas:

σ a d m = 3 w 0 b h 2 x 2

E

σ a d m = 3 w 0 L 2 4 b h 0 2

Igualando:

3 w 0 b h 2 x 2 = 3 w 0 L 2 4 b h 0 2

Simplificando:

1 h 2 x 2 = L 2 4 h 0 2

x 2 = L 2 h 2 4 h 0 2

x = L h 2 h 0

Nós podemos expressar o comprimento l como:

l = L - 2 x

Substituindo x :

l = L - 2 L h 2 h 0

l = L - L h h 0

l = L 1 - h h 0

Resposta

l = L 1 - h h 0

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