Enunciado

Para o estado plano de tensões mostrado, determinar a máxima tensão de cisalhamento, quando:

  1. τ x y = 42   M P a
  2. τ x y = 96   M P a

( s u g e s t ã o :   c o n s i d e r a r   a s   t e n s õ e s   d e   c i s a l h a m e n t o ,   n o   p l a n o   e   f o r a   d o   p l a n o )

Passo 1

Para resolver esse tipo de questão, temos que conhecer um pouco sobre o estado triaxial de tensões, o que vai facilitar em muito a nossa vida na hora de calcular o nosso objetivo, que é determinar a tensão máxima de cisalhamento.

Para fazer isso, é muito simples, pensa em um circulo de mohr que representasse as tensões principais em mais de uma direção, se formos pensar nele assim, sabemos que ele vai ter a seguinte cara:

Sabemos que o raio da maior circunferência é exatamente a máxima tensão cisalhante que ocorre no nosso elementinho, e podemos calcular o raio da circunferência da seguinte maneira:

τ M a x = σ 1 - σ 3 2

E sabemos que as tensões σ 1   e   σ 3 são tensões principais, ou seja, que ocorrem em planos sem tensão cisalhante.

Com todas essas informações, já podemos resolver o nosso problema, vamos nessa?

Passo 2

Olhando o nosso elemento finito, temos que os dois casos dados são:

Perceba que a tensão em z é zero, e que os planos perpendiculares a direção z não possuem tensões cisalhantes, ou seja, a tensão em z já é uma tensão principal, mas não sabemos qual das 3, sendo assim temos que:

σ z = 0 σ 1 σ 2 σ 3

Para sabermos exatamente quais as tensões principais totais, precisamos calcular as tensões principais do outro plano, com isso temos a seguinte situação:

Como nosso objetivo agora é determinar as tensões principais, temos as seguintes equações pra isso:

σ 1 = σ m e d + R

σ 2 = σ m e d - R

Sabemos que:

σ m e d = σ x + σ y 2

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Com isso vamos ter que:

  1. τ x y = 42   M P a
  2. Substituindo temos que:

    σ m e d = σ x + σ y 2 = 120 + 60 2 = 90   M P a

    R = 120 - 60 2 2 + 42 2 = 51,6   M P a

    σ 1 = σ m e d + R = 90 + 51,6 = 141,6   M P a

    σ 2 = σ m e d - R = 90 - 51,6 = 38,4   M P a

    Ou seja, se montarmos o nosso círculo, teremos que:

    Calculando o raio, teremos que:

    τ M a x = 141,6 - 0 2 = 70,8   M P a

  3.   τ x y = 96   M P a

Substituindo temos que:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 120 + 60 2 = 90   M P a

R = 120 - 60 2 2 + 96 2 = 100,6   M P a

σ 1 = σ m e d + R = 90 + 100,6 = 190,6   M P a

σ 2 = σ m e d - R = 90 - 100,6 = - 10,6   M P a

Ou seja, se montarmos o nosso círculo, teremos que:

Calculando o raio, teremos que:

τ M a x = 190,6 - ( - 10,6 ) 2 = 100,6   M P a

Resposta

  1. τ M a x = 70,8   M P a
  2. τ M a x = 100,6   M P a
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