Enunciado

Expresse a força como um vetor cartesiano.

Passo 1

Cara, vamos entender o que ele quer e o que essa figura nos quer dizer. Ele quer que a gente expresse essa força como vetor, aí precisamos achar as componentes dessa força nos eixos coordenados.

Mas e essa figura estranha? Cara, ele tá dizendo que temos uma força de módulo 500 N . Ela faz um ângulo de 60 ° em relação a parte negativa do eixo z . E faz 45 ° com a parte negativa de y .

Ele não específica o ângulo que a força faz com x , mas a gente consegue descobrir, fica tranquilo.

Aí a parada é usar nossos ângulos dados para achar as componentes os eixos coordenados.

Bora lá!

Passo 2

Para encontrar as componentes da força nos eixos, podemos usar os ângulos diretores e as fórmulinhas:

cos alpha = (F_x)/(F) -> F_x = F cos alpha

cos beta = (F_y)/(F) -> F_y = F cos beta

cos gamma = (F_z)/(F) -> F_z = F cos gamma

Vamos olhar cada uma dessas. A que nos dá a componente de z é:

F_z = F cos gamma

Esse ângulo gamma está entre a força e a parte positiva de z . Mas lembra que ele deu o ângulo entre a força e a parte negativa de z como 60 ° ? Temos algo assim:

Podemos achar gamma fazendo

gamma = 180 ° - 60 °

Jogando na fórmulinha:

F_z = F cos gamma

F_z = 500 cos ( 180 ° - 60 ° )

F_z = 500 cos ( 120 ° )

F_z = - 250 N

Temos a mesma situação para o eixo y . beta é o ângulo entre força e a parte negativa de y . Aí a gente faz

beta = 180 ° - 45 °

F_y = F cos beta

F_y = 500 cos (180 ° - 45 °)

F_y = 500 cos (135 °)

F_y = - 354 N

Passo 3

Já para o eixo x não temos o ângulo, mas podemos tirar pela fórmulinha:

cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1

cos^2 alpha + cos^2 135 ° + cos^2 120 ° = 1

cos^2 alpha = (1)/(4)

alpha = cos^(- 1) (1)/(2)

alpha = 60 °

Logo, nossa componente em x :

cos 60 ° = (F_x)/(500)

cos alpha = (F_x)/(F)

F_x = 250 N

Passo 4

Por fim, escrevendo nossa força como vetor cartesiano:

vec F = {F_x i + F_y j + F_z k}

vec F = {250 i - 354 j - 250 k} N

Repare que a direção j e k é negativa pois a componente y e z apontam para trás e para baixo.

Resposta

vec F = {250 i - 354 j - 250 k} N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o comprimento da barra e o vetor posição direcionado de A a B . Qual é o ângulo θ ?
Determine a força resultante que atua sobre o gancho.
Determine a força resultante em A .
Determine as componentes da força que atuam paralela e perpendicularmente ao eixo do poste.
iv)